ГДЗ Математика 5 клас Мерзляк А Г Вправи 697 – 725 § 24 Комбінаторні задачі

Які задачі називають комбінаторними? Задачі, розв’язання яких потребує розгляду та підрахунку всіх можливих випадків, або, як ще прийнято говорити, усіх можливих комбінацій, називають комбінаторними.

Розв’язуємо усно

Завдання 1 Одним шаром паперу оклеїли куб, ребро якого дорівнює 3 дм. Скільки квадратних дециметрів паперу витратили на оклеювання куба?

1) 3 • 3 = 9 (дм 2 ) – площа грані куба.

2) 9 • 6 = 36 (дм 2 ) – площа поверхні куба.

Відповідь: витратили 36 дм 2 паперу.

Завдання 2 Маса 1 л соняшникової олії на 75 г менша від маси 1 л води, а маса 1 л меду на 450 г більша за масу 1 л води. На скільки маса 1 л меду більша за масу 1 л соняшникової олії?

Для води: 1 л = 1 кг = 1000 г

1) 1000 г – 75 г = 975 (г) – маса 1 л соняшникової олії.

2) 1000 г + 450 г = 1450 (г ) – маса 1 л меду.

3) 1450 – 975 = 525 (г ) – на стільки більша маса 1 л меду.

Відповідь: на 525 грам.

Завдання 3 Скільки центнерів пшениці можна засипати в бункер, який має форму прямокутного паралелепіпеда, якщо його довжина дорівнює 8 м, ширина — 2 м, висота — 1 м, а маса 1 м 3 зерна становить 8 ц?

1) V = 8 м • 2 м • 1 м = 16 м 3 – об’єм бункера.

2) 8 • 16 = 128 (ц) – пшениці можна засипати в бункер.

Відповідь: у бункер можна засипати 128 ц пшениці.

Завдання 4 Чи встигне Олеся прочитати за 2 год книжку, у якій 65 сторінок, якщо за 6 хв вона може прочитати 3 сторінки?

1) 65 : 3 = 2 (хв) – час, за який читає 1 сторінку.

2) 65 : 2 = 32 (ост. 1) – за стільки хвилин прочитає 65 сторінок.

Відповідь: встигне прочитати.

Вправи

Вправа 697 Запишіть усі двоцифрові числа, у записі яких використовуються тільки цифри 1 , 2 і 3 (цифри в числі можуть повторюватися).

Відповідь: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 1 на першому місці.

Маємо 3 комбінації: 11, 12, 13.

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 2 на першому місці.

Маємо 3 комбінації: 21, 22, 23.

3) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 3 на першому місці.

Маємо 3 комбінації: 31, 32, 33.

Усі комбінації: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.

Вправа 698 Запишіть усі двоцифрові числа, у записі яких використовуються тільки цифри 1 , 2 і 0 (цифри в числі можуть повторюватися). Відповідь: 10, 11, 12, 20, 21, 22.

З цифрою 0 на першому місці не будемо мати трицифрових чисел.

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 1 на першому місці.

Маємо 3 комбінації: 10, 11, 12.

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 2 на першому місці.

Маємо 3 комбінації: 20, 21, 22.

Усі комбінації: 10, 11, 12, 20, 21, 22.

Вправа 699 Скільки двоцифрових чисел, усі цифри яких різні, можна записати за допомогою цифр 0, 1 і 2? Відповідь: 4 комбінації.

З цифрою 0 на першому місці не будемо мати трицифрових чисел.

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 1 на першому місці.

Маємо 2 комбінації: 10, 12.

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 2 на першому місці.

Маємо 2 комбінації: 20, 21.

Разом маємо 4 комбінації (10, 12, 20, 21).

Вправа 700 Скільки двоцифрових чисел, усі цифри яких різні, можна записати за допомогою цифр 1, 2 і 3? Відповідь: 6 комбінацій.

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 1 на першому місці.

Маємо 2 комбінації: 12, 13.

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 2 на першому місці.

Маємо 2 комбінації: 21, 23.

3) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 3 на першому місці.

Маємо 2 комбінації: 31, 32.

Разом маємо 6 комбінацій (12, 13, 21, 23, 31, 32).

Вправа 701 Віслюк Іа має три надувні кульки: червону, зелену та жовту. Він хоче подарувати по одній кульці своїм друзям: Вінні-Пуху, П’ятачку і Кролику. Скільки варіантів зробити подарунки своїм друзям є у віслюка Іа?

Відповідь: шість варіантів зробити подарунки своїм друзям є у віслюка Іа.

Вправа 702 У футбольному турнірі беруть участь команди 5-А класу, 5-Б класу і 5-В класу. Скільки існує способів розподілу першого і другого місць серед цих команд? Розв’язання якої із задач за номерами 650-653 аналогічне розв’язанню цієї задачі?

Відповідь: таких варіантів є шість; розв’язання аналогічне 701 задачі.

Вправа 703 Запишіть усі трицифрові числа, для запису яких використовуються цифри:

1) 3, 4 і 6 (Цифри в числі не можуть повторюватися.)

Відповідь: 346, 364, 436, 463, 634, 643

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 3 на першому місці.

Маємо 2 комбінації: 346, 364

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 4 на першому місці.

Маємо 2 комбінації: 436, 463

3) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 6 на першому місці.

Маємо 2 комбінації: 634, 643

Усі комбінації: 346, 364, 436, 463, 634, 643.

Запишіть усі трицифрові числа, для запису яких використовуються цифри:

2) 4, 7 і 0. (Цифри в числі не можуть повторюватися.) Відповідь: 470, 407, 740, 704.

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 4 на першому місці.

Маємо 2 комбінації: 470, 407

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 7 на першому місці.

Маємо 2 комбінації: 740, 704

З цифрою 0 на першому місці не будемо мати трицифрових чисел.

Усі комбінації: 470, 407, 740, 704.

Вправа 704 Скільки різних трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр:

1) 1 і 2? (Цифри в числі можуть повторюватися.)

Відповідь: можна записати 6 трицифрових чисел (112, 122, 121, 212, 211, 221).

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 1 на першому місці.

Маємо 3 комбінації, щоб наявні були дві цифри одночасно: 112, 122, 121

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 2 на першому місці.

Маємо 3 комбінації, щоб наявні були дві цифри одночасно: 212, 211, 221

Усіх таких трицифрових чисел шість (112, 122, 121, 212, 211, 221).

Скільки різних трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр:

2) 0 і 1 ? (Цифри в числі можуть повторюватися.)

Відповідь: можна записати 3 трицифрові числа (110, 101, 100) .

З цифрою 0 на першому місці не будемо мати трицифрових чисел.

Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 1 на першому місці.

Маємо 3 комбінації, щоб наявні були дві цифри одночасно (110, 101, 100).

Вправа 705 Запишіть усі двоцифрові числа, у записі яких використовуються тільки цифри 2, 4, 9 і 0. (Цифри в числі можуть повторюватися.)

Відповідь: 22, 24, 29, 20, 42, 44, 49, 40, 92, 94, 99, 90.

З цифрою 0 на першому місці не будемо мати двоцифрових чисел.

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 2 на першому місці.

Маємо 4 комбінації: 22, 24, 29, 20

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 4 на першому місці.

Маємо 4 комбінації: 42, 44, 49, 40

3) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 9 на першому місці.

Маємо 4 комбінації: 92, 94, 99, 90

Усі комбінації: 22, 24, 29, 20, 42, 44, 49, 40, 92, 94, 99, 90.

Вправа 706 Скільки двоцифрових чисел можна записати за допомогою цифр 6, 7, 8 і 9 так, щоб цифри були записані в порядку зростання?

Відповідь: 6 двоцифрових чисел (67, 68, 60, 78, 79, 89) .

Цифри у двоцифровому числі не повинні повторюватися.

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій чисел у порядку зростання з цифрою 6 на першому місці.

Маємо 3 комбінації двоцифрових чисел: 67, 68, 69

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій чисел у порядку зростання з цифрою 7 на першому місці.

Маємо 2 комбінації двоцифрових чисел: 78, 79.

3) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій чисел у порядку зростання з цифрою 8 на першому місці.

Маємо 1 комбінацію двоцифрових чисел: 89.

4) Нема комбінацій двоцифрових чисел у порядку зростання з цифрою 9 на першому місці.

Усього 6 таких двоцифрових чисел (67, 68, 69, 78, 79, 89).

Вправа 707 Скільки двоцифрових чисел можна записати за допомогою цифр 6, 7, 8 і 9 так, щоб цифри були записані в порядку спадання?

Відповідь: 6 таких двоцифрових чисел (98, 97, 96, 87, 86, 76)

Цифри у двоцифровому числі не повинні повторюватися.

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій чисел в порядку спадання з цифрою 9 на першому місці.

Маємо 3 комбінації таких двоцифрових чисел: 98, 97, 96.

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій чисел у порядку спадання з цифрою 8 на першому місці.

Маємо 2 комбінації таких двоцифрових чисел: 87, 86.

3) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій чисел у порядку спадання з цифрою 7 на першому місці.

Маємо 1 комбінацію таких двоцифрових чисел: 76.

Нема комбінацій двоцифрових чисел у порядку спадання з цифрою 6 на першому місці.

Усього 6 таких двоцифрових чисел (98, 97, 96, 87, 86, 76).

Вправа 708 Скільки існує двоцифрових чисел, сума цифр яких дорівнює 5?

Відповідь: 5 двоцифрових чисел (41, 23, 32, 41, 50) .

Вправа 709 Скільки існує трицифрових чисел, сума цифр яких дорівнює 3?

Відповідь: 6 трицифрових чисел (111, 102, 120, 201, 210, 300) .

Вправа 710 Скільки двоцифрових чисел, сума цифр яких дорівнює парному числу, можна скласти з цифр 1, 2, З, 4 (цифри в числі можуть повторюватися)? Відповідь: 8 двоцифрових чисел (11, 13, 22, 24, 31, 33, 42, 44) .

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій чисел сума цифр яких дорівнює парному числу з цифрою 1 на першому місці.

Маємо 2 комбінації таких двоцифрових чисел: 11, 13.

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій чисел сума цифр яких дорівнює парному числу з цифрою 2 на першому місці.

Маємо 2 комбінації таких двоцифрових чисел: 22, 24.

3) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій чисел сума цифр яких дорівнює парному числу з цифрою 3 на першому місці.

Маємо 2 комбінації таких двоцифрових чисел: 31, 33.

4) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій чисел сума цифр яких дорівнює парному числу з цифрою 4 на першому місці.

Маємо 2 комбінації таких двоцифрових чисел: 42, 44.

Усього 8 таких двоцифрових чисел (11, 13, 22, 24, 31, 33, 42, 44).

Вправа 711 Скільки двоцифрових чисел, сума цифр яких дорівнює непарному числу, можна скласти з цифр 0, 1 , 2, З?

Відповідь: 6 двоцифрових чисел (10, 12, 21, 23, 30, 32) .

З цифрою 0 на першому місці не будемо мати двоцифрових чисел.

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій чисел сума цифр яких дорівнює непарному числу з цифрою 1 на першому місці.

Маємо 2 комбінації таких двоцифрових чисел: 10, 12.

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій чисел сума цифр яких дорівнює непарному числу з цифрою 2 на першому місці.

Маємо 2 комбінації таких двоцифрових чисел: 21, 23.

3) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій чисел сума цифр яких дорівнює непарному числу з цифрою 3 на першому місці.

Маємо 2 комбінації таких двоцифрових чисел: 30, 32.

Усього 6 таких двоцифрових чисел (10, 12, 21, 23, 30, 32).

Вправа 712 Василь сканував старі фотографії своєї родини. За кожні наступні 10 хв він сканував більше фотографій, ніж за попередні 10 хв. Разом за 40 хв він відсканував 23 фотографії, причому за останні 10 хв — у 4 рази більше фотографій, ніж за перші 10 хв. Скільки фотографій він відсканував за другі 10 хв?

х + (х + 4) + (х + 5) + 4х = 23

Відповідь: 6 хвилин.

Вправа 713 На таці лежать 16 фруктів: апельсини, лимони й мандарини. Скільки мандаринів лежить на таці, якщо апельсинів на ній у 5 разів більше, ніж лимонів? 10 мандаринів або 4 мандарини.

Вправа 714 Скільки існує різних прямокутників, периметри яких дорівнюють 24 см, а довжини сторін, виражені в сантиметрах, є натуральними числами?

24 : 2 = 12 (см) – cума двох сторін прямокутника.

Відповідь: існує 6 різних прямокутників розмірами:

1 см х 11 см, 2 см х 10 см, 3 см х 9 см, 4 см х 8 см, 5 см х 7 см, 6 см х 6 см .

Вправа 715 Ганнуся має З0 однакових кубиків. Скільки різних прямокутних паралелепіпедів вона може з них скласти, якщо для побудови одного паралелепіпеда треба використати всі наявні З0 кубиків?

Відповідь: можна скласти 5 прямокутних паралелепіпедів розмірами:

1 х 1 х 30, 1 х 2 х 15, 1 х 3 х 10, 1 х 6 х 5, 2 х 3 х 5.

Вправа 716 На прямій позначили чотири точки: А, В, С і D. Скільки існує відрізків з кінцями в позначених точках?

Відповідь: існує 6 відрізків (АВ, АС, АD, ВС, ВD, СD).

Вправа 717 Підніжжя гори та її вершину зв’язують три стежки. Скільки існує маршрутів, як і ведуть від підніжжя до вершини й потім униз до підніжжя?

Позначимо вершину гори: С1

Позначимо підняжжя гори: С2, С3. С4.

С2С1С2, С2С1С3, С1С2С4

С3С1С2, С3С1С3, С3С1С4

С4С1С2, С4С1С3, С4С1С4

Відповідь: 9 маршрутів.

Вправа 718 Тетянка має чотири плаття та дві пари туфель. Скільки у Тетянки є варіантів вибрати наряд?

Позначимо плаття: п1, п2, п3, п4

Позначимо туфлі: т1, т2.

Відповідь: 8 варіантів нарядів.

Вправа 719 У загоні космонавтів є три пілоти та два інженери. Скільки існує способів скласти екіпаж з одного пілота й одного інженера?

Позначимо пілотів: п1, п2, п3.

Позначимо інженерів: і1, і2.

Відповідь: 6 екіпажів.

Вправа 720 На рисунку 194 зображено план одного району міста. Відрізками зображено вулиці. Скільки існує маршрутів з точки А в точку В , якщо пересуватися дозволено вулицями, що ведуть на північ або на схід?

Відповідь: існує 6 маршрутів.

Вправи для повторення

Вправа 721 Розв’яжіть рівняння

1) 1376 : (34 – х) = 86

34 – х = 1376 : 86

2) 9680 : (х + 219) = 16

х + 219 = 9680 : 16

3) (х – 57) : 29 = 205

4) (х – 72) • 9 = 927

х – 72 = (900 + 27) : 9

Вправа 722 Один із доданків у 14 разів більший за другий. У скільки разів їх сума більша за менший із доданків?

Нехай х – менший доданок, тоді 14х – більший доданок,

14х + х = 15х – сума.

15х : х = 15 (разів) – у стільки разів сума більша від меншого доданку.

Відповідь: сума у 15 разів більша від меншого доданку.

Вправа 723 Від’ємник у 12 разів більший за різницю. У скільки разів зменшуване більше за різницю?

Нехай х – різниця, тоді 12х – від’ємник,

12х + х = 13х – зменшуване.

13х : х = 13 (разів) – у стільки разів зменшуване більше за різницю.

Відповідь: зменшуване у 13 разів більше за різницю.

Вправа 724 Розгадайте кросворд:

1. Результат дії ділення ( частка ).

2. Одиниця часу ( секунда ).

3. Одиниця виміру кутів ( градус ).

4. Компонент множення ( множник ).

5. Компонент додавання ( доданок ).

По вертикалі: 6. Цариця наук ( математика ).

Задача від Мудрої Сови

Задача 725 У класі З0 учнів. Вони сидять по двоє за 15 партами так, що половина всіх дівчинок сидить з хлопчиками. Чи можна учнів класу пересадити так, щоб половина всіх хлопчиків сиділа з дівчинками?

Оскільки половина дівчаток сидить з хлопчиками, значить кількість дівчаток виражається парним числом.

Інша половина дівчаток утворюють пару дівчинка-дівчинка, значить половина дівчаток теж виражається парним числом.

Кількість дівчаток ділиться на 4. Щоб половина хлопчиків сиділа з дівчатками, кількість хлопців теж повинна ділитися на 4. Тоді кількість учнів має ділитися на 4. Оскільки кількість усіх дітей, виражена числом 30, не ділиться на 4 без остачі, отже, дітей пересадити так неможливо.

Вправа 667** Кіт Базиліо та лисиця Аліса вирішили вкрасти золотий ключик, який зберігається в комірці тата Карла. Щоб туди потрапити, слід підібрати двоцифровий код. Їм відомо, що двері в комірку зачиняє Буратіно, який знає поки що тільки чотири цифри: 0, 1, 2 і 3. Яку найбільшу кількість варіантів доведеться перебрати коту й лисиці, щоб відчинити двері?

00, 01, 02, 03, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33.

Відповідь: 16 варіантів.

Вправа 671” Команді пропонують футболки трьох кольорів: червоного, зеленого та синього, і шорти двох кольорів — білого та жовтого. Скільки варіантів вибрати форму є у команди?

Позначимо футболки: ч, з, с.

Позначимо шорти: б, ж.

чб, чж

зб, зж

сб, сж

Відповідь: 6 варіантів форми.

Вправа 674” У записі 1 * 2 * 3 * 4 замість кожної зірочки можна поставити знак ≪+≫ або знак ≪•≫. Чому дорівнює найбільше значення виразу, який можна отримати?

9-А.К.Р.Основи комбінаторики, теорії ймовірності та статистики

1. Скільки двоцифрових чисел можна утворити з цифр 1, 3, 5?

Яка ймовірність того, що на гральному кубику випаде число 1?

Яка ймовірність того, що на гральному кубику випаде парне число?

Яка ймовірність того, що на гральному кубику не випаде парне число?

Яка ймовірність того, що на гральному кубику випаде число кратне 6?

Дано вибірку: 3; 8; 7; 3; 5. Знайдіть її моду;

Дано вибірку: 3; 8; 7; 3; 5. Знайдіть її медіану;

Дано вибірку: 3; 8; 7; 3; 5. Знайдіть середнє значення.

У кошику 4 червоних яблук і 16 жовтих яблука. Яка ймовірність вийняти навмання з кошика червоне яблуко?

Із натуральних чисел від 1 до 24 навмання вибирають одне. Яка ймовірність того, що це число не є дільником числа 24?

У коробці лежать 5 чорних, 6 червоних, 9 зелених кульок. Із коробки навмання виймають одну кульку. Знайдіть імовірність того, що вона буде червоною.

У першому ящику лежить 20 пронумерованих білих куль, а в другому – 10 пронумерованих чорних куль. Скількома способами можна вибрати одну білу або одну чорну кулю?

На картках написано натуральні числа від 5 до 36. Якою є ймовірність того, що перша вибрана навмання картка містить число, кратне 7?

У пеналі лежать 9 олівців і 12 ручок. Скількома способами можна вибрати олівець або ручку?

Скільки чотирицифрових чисел, усі цифри в яких різні, можна скласти із цифр 2,3,4,5?

Скільки чотирицифрових чисел, усі цифри в яких різні, можна скласти із цифр 1, 2, 3, 4, якщо ці числа мають починатися із цифри 4?

У вазі лежать чотири яблука та три груші. Скількома способами можна обрати один фрукт?

У якому випадку подію А називають достовірною?

Чому дорівнює середнє значення вибірки: 6; 12; 6; 7; 8; 1; 8; 2; 13; 8; 15; 2

Знайти моду вибірки: 2; 9; 4; 6; 12;11; 8; 3, 12.

Із натуральних чисел від 1 до 18 включно учень навмання називає одне число. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа 12?

На круговій діаграмі показано розподіл учнів 5-8 класів. Який клас займає 4 місце за кількістю учнів?

Знайдіть ймовірність події: після 30 квітня настане 29 квітня.

В коробці лежать 2 м’ячі, 4 олівці, 7 коробок фарби. Яка імовірність дістати з коробки олівець?

Які з наступних подій є неможливими?

«черепаха навчиться говорити»;

«ви програєте партію в шахи»;

«вода в чайнику закипить при 100 0 С»;

«вода в чайнику, що стоїть на гарячій плиті, закипить»;

«після четверга буде середа»;

Із наведених подій укажіть випадкову подію.

Після 30 вересня одразу настає перше жовтня

У результаті підкидання грального кубика випало 5,5 очок

У результаті підкидання грального кубика випаде герб

Під час підкидання монети випала цифра

У мішечку 10 згорнутих папірців.На двох із них написано слово “ні”, а на решті-“так”. Яка ймовірність того, що на взятому навмання папірці виявиться слово “так”?

У забігу на 100 м брали участь хлопці 9-го класу. Виберіть правильний полігон частот, заданих таблицею з результатами забігу.

Котра з діаграм відповідає цій частотній таблиці?

В діаграмі зображені відповіді учнів школи про кількість відвіданих культурно – розважальних закладів протягом року. Сектор блакитного кольору – кількість відвідин оперного театру, фіолетовий – цирку, зелений – лялькового театру, помаранчевий – музеїв, червоний – ігрових кімнат торговельно – розважальних центрів. Які заклади є модними в учнів цієї школи?