Зміст:

1 Як обчислити вірогідність
2 Випадкова подія. Ймовірність випадкової події.
3 Ймовірність події. Визначення ймовірності події
4 Випадкова подія. Частота та ймовірність випадкової події.
5 Ймовірність події. Визначення ймовірності події

Як обчислити вірогідність

У математичній статистиці самим основним і найбільш важливим поняттям вважається ймовірність тієї чи іншої події. Імовірність характеризує ступінь можливості появи події. А як вирахувати ймовірність?

Ймовірність події – це є відношення кількості всіх сприятливих результатів події до кількості всіх можливих результатів. Успішним результатом вважається результат, який незмінно веде до здійснення події. Щоб краще це зрозуміти, потрібно розібрати простий приклад з кубиком. Імовірність того, що випаде трійка при кидку кубика, обчислюється таким чином. Всього при кидку кубика існує шість можливих подій. Вони визначаються за кількістю його граней. Зате в даному випадку є тільки один успішний результат – це випадання трійки. Тоді ймовірність викинути трійку всього за однієї кидку кубика виходить рівної 1/6. Варто відзначити, що значення ймовірності будь-якої події знаходиться у відрізку від нуля до одиниці.

Якщо ж потрібну подію можна легко розкласти на кілька подій, несумісних один з одним, то ймовірність цього потрібного події дорівнюватиме сумі ймовірностей кожного з несумісних подій. У математичній статистиці це твердження називається теоремою додавання ймовірностей. Її можна розглянути також при кидку кубика. Тепер уже потрібно визначити ймовірність випадання непарного числа. Таких чисел на кубику три, а саме 1, 3 і 5. Вірогідність випадання кожного з них дорівнює 1/6. За теоремою знаходимо ймовірність випадання непарного числа. Вона дорівнює сумі ймовірностей кожного з цих подій: 3/6 = 1/2.

Буває й так, що потрібно визначити ймовірність настання двох незалежних один від одного подій. Події Можна розглядати як незалежні, якщо їх імовірності не настання або настання ніяк не залежать один від одного. У цьому випадку ймовірність знаходять як добуток ймовірностей настання обох подій. Щоб це краще зрозуміти, потрібно спробувати знайти ймовірність випадання одночасно двох шісток на двох кубиках. Ці події незалежні один від одного. Ймовірність того, що на кубику випаде шістка, дорівнює 1/6. А значить ймовірність появи одночасно двох шісток – 1/36.

Випадкова подія. Ймовірність випадкової події.

домогтися засвоєння учнями змісту понять: випадкова подія, вірогідна подія, неможлива подія; означення ймовірності випадкової події; формули для обчислення ймовірності про¬стої випадкової події. Виробити вміння: визначати вид події (випадкова, вірогідна, неможлива); визначати за формулою ймовірність простої події, а також розв’язувати задачі, що передбачають обчислення ймовірності за формулою.

Тема уроку. Випадкова подія. Ймовірність випадкової події.

Мета уроку: домогтися засвоєння учнями змісту понять: випадкова подія, вірогідна подія, неможлива подія; означення ймовірності випадкової події; формули для обчислення ймовірності про стої випадкової події. Виробити вміння: визначати вид події (випадкова, вірогідна, неможлива); визначати за формулою ймовірність простої події, а також розв’язувати задачі, що передбачають обчислення ймовірності за формулою.

Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект № 25.

I. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.

II . Перевірка домашнього завдання

Учитель збирає зошити учнів із виконаною домашньою само стійною роботою на перевірку. Для учнів, які потребують додат кової педагогічної уваги, учитель заздалегідь готує розв’язання вправ самостійної роботи, які роздає учням для самостійного опра цювання вдома.

III . Формулювання мети і завдань уроку.
Мотивація навчальної діяльності учнів

Учитель нагадує учням, що основна мета вивчення теми З «Елементи прикладної математики» — це оволодіння найпро стішими способами розв’язування прикладних задач, а також способами оцінювання та подачі інформації про реальні фізичні, . соціальні та хімічні процеси. У цьому контексті стає зрозумілою логіка вивчення матеріалу даної теми. Після розгляду питання про загальний спосіб розв’язування прикладних задач вивчаються питання про окремі види прикладних задач, якщо розглядати їх з точки зору способу опису реальних процесів: задачі на відсотки описують зміну величин; задачі на ймовірність показують мож ливість того, що відбудеться або не відбудеться певний процес, задачі на застосування елементів статистики вчать учнів подава ти інформацію про результати процесів різними способами. Усі ці міркування вчитель подає учням в адаптованій формі, після чого формулюється мета даного уроку: повторити та систематизувати знання учнів про ймовірність випадкової події, отримані ними у 6 класі, а також доповнити їх знаннями про способи обчислен ня ймовірності випадкової події.

IV . Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Усні вправи

1) 40% від числа 2,5; 2) 10% від числа 1,7; 3) 130% від числа 1 .

1) число, 15% якого дорівнює 75;

2) число, 80% якого дорівнює 4.

1) підкидання грального кубика;

2) витягування кульки з ящика, у якому є білі та чорні кульки;

4) вибір деталей із партії, у якій 100 якісних деталей і 2 брако вані?

V . Формування знань

План вивчення нового матеріалу

Уявлення про зміст понять: подія, випадкова подія, вірогідна подія, неможлива подія.
Класичне означення ймовірності випадкової події. Формула обчислення ймовірності випадкової події.

Випадкова подія — подія, яка може або відбутися, або не відбутися (за певних обставин) при багаторазовому випробуван ні.

Приклади: а) назавтра піде дощ; б) виграш у лотерею 10 грн.

Якщо подія обов’язково відбудеться при багаторазовому ви пробуванні, то вона називається вірогідною .

Приклади: а) після четверга наступає п’ятниця; б) сонце сходить на сході.

Якщо подія не відбудеться при багаторазовому випробуван ні, то вона називається неможливою .

Приклад: а) після зими настає літо; б) з ящика, у якому є тільки білі кульки, витягують чорну кульку.

Ймовірність (випадкової події) — це число, яке показує відношення числа випробувань, у яких дана подія відбулась, до числа всіх випробувань.

Р(А) = — формула обчислення ймовірності , де Р(А) — ймовірність події А; т — кількість сприятливих випробувань (коли подія А настала); п — кількість усіх випробувань.

Властивості ймовірності будь-якої події

3. Якщо А — неможлива подія, то Р(А) = 0.

4. Якщо А — випадкова подія, то 0 Р(А) < 1 .

Вивчення матеріалу уроку починається з формулювання уяв лення учнів про зміст загального означення понять події, випадко вої події, вірогідної події, неможливої події майже на побутовому рівні, тобто учні мають усвідомити, що являють собою такі види подій, не даючи їм математично строгих означень, а також на вчитись наводити приклади таких видів подій.

Класичне означення ймовірності та формула обчислення ймо вірності простих випадкових подій Р(А) = (див. опорний кон спект № 25) також формулюються на інтуїтивному рівні, без стро гих означень, і ґрунтуються на життєвому досвіді учнів. Проте на деяких математичних властивостях цього відношення слід на голосити: ймовірність виражається невід’ємним числом у межах від 0 до 1, ймовірність неможливої події дорівнює 0, ймовірність вірогідної події дорівнює 1.

VI. Формування вмінь

Усні вправи

Які з наведених подій є випадковими:
випадання герба при однократному підкиданні монети;
виграш у лотерею 5 грн;
випадання двох шісток на двох гральних кубиках при їх підкиданні;
витягування чорної кульки з ящика, у якому всі кульки білі;
витягування чорної кульки з ящика, у якому 10 чорних кульок.
1) вірогідної події; 2) неможливої події.
У ящику 12 білих, 7 чорних та одна зелена кулька. З нього навмання беруть одну кульку. Яка ймовірність того, що вона буде: 1) білою; 2) чорною; 3) зеленою?
Письмові вправи
Для реалізації дидактичної мети уроку слід розв’язати вправи такого змісту:
серед запропонованих прикладів подій назвати випадкові, вірогідні, неможливі;
знайти ймовірність випадкових подій за формулою;
на повторення: задачі на відсоткові розрахунки, задачі на складання та розв’язування математичної моделі.
Для кращого засвоєння учнями матеріалу уроку рекоменду ється при виконанні відповідних вправ неодноразово повторювати зміст вивчених понять. Важливо відпрацювати вміння виконувати дії, що передбачені застосуванням формули ймовірності: знайти кількість усіх можливих випадків; знайти кількість сприятливих випадків; знайти відношення кількості сприятливих випадків до кількості всіх можливих випадків. При цьому при підрахунку кількості як одних, так і інших варіантів випадків доречно вико ристовувати як правила перебору варіантів, так і початкові відо мості з комбінаторики, якщо учні володіють такими.
VII. Підсумки уроку
Контрольні запитання
1) випадкової події; 2) неможливої події; 3) вірогідної події.
Чи може ймовірність деякої події А дорівнювати:
1) ; 2) 0; 3) -1; 4) 1; 5) 1,5?
У прогнозі погоди було сказано: наступного дня ймовірність опадів дорівнює 0,75. Що це означає?
VIII. Домашнє завдання
Вивчити означення понять, розглянутих на уроці.
Розв’язати вправи: на визначення виду подій, обчислення ймовірності випадкових подій за вивченою формулою (рівень складності завдань відповідає рівню складності завдань, розв’язаних на уроці).
Повторити схему розв’язування задач складанням математичної моделі.
Ймовірність події. Визначення ймовірності події
Спочатку, будучи всього лише зборами відомостей і емпіричних спостережень за грою в кістці, теорія ймовірності стала ґрунтовною наукою. Першими, хто надав їй математичний каркас, були Ферма і Паскаль.
Від роздумів про вічне до теорії ймовірностей
Що таке випадковість
Ймовірність випадкової події
Стосунки між подіями
Стосунки між подіями. Приклади
Формула ймовірності події
Розрахунок ймовірності події. Приклад
Несумісні події
Ймовірність суми несумісних подій
Ймовірність твору несумісних подій
Спільні події
Ймовірність суми спільних подій. Приклад
Геометрія ймовірності для наочності
Залежні події
Приклад розрахунку ймовірності залежних подій
Множення залежних подій
Повна ймовірність події
Погляд у майбутнє
Від роздумів про вічне до теорії ймовірностей
Дві особи, яким теорія ймовірностей зобов ‘язана багатьма фундаментальними формулами, Блез Паскаль і Томас Байєс, відомі як глибоко віруючі люди, останній був пресвітеріанським священиком. Мабуть, прагнення цих двох вчених довести помилковість думки про якусь Фортуну, що дарує удачу своїм улюбленцям, дало поштовх до досліджень у цій галузі. Адже насправді будь-яка азартна гра з її виграшами і програшами – це всього лише симфонія математичних принципів.
Завдяки азарту кавалера де Мере, який рівною мірою був гравцем і людиною небайдужою до науки, Паскаль змушений був знайти спосіб розрахунку ймовірності. Де Мере цікавило таке питання: “” Скільки разів потрібно викидати попарно дві кістки, щоб ймовірність отримати 12 очок перевищувала 50%? “”. Друге питання, яке вкрай цікавило кавалера: “Як розділити ставку між учасниками незакінченої гри?” Зрозуміло, Паскаль успішно відповів на обидва запитання де Мере, який став мимовільним зачинателем розвитку теорії ймовірностей. Цікаво, що персона де Мере так і залишилася відома в даній області, а не в літературі.
Раніше жоден математик ще не робив спроб обчислювати ймовірності подій, оскільки вважалося, що це лише гидке рішення. Блез Паскаль дав перше визначення ймовірності події і показав, що це конкретна цифра, яку можна обґрунтувати математичним шляхом. Теорія ймовірностей стала основою для статистики і широко застосовується в сучасній науці.
Що таке випадковість
Якщо розглядати випробування, яке можна повторити нескінченне число разів, тоді можна дати визначення випадкової події. Це один з ймовірних результатів досвіду.
Досвідом є здійснення конкретних дій у незмінних умовах.
Щоб можна було працювати з результатами досвіду, події зазвичай позначають літерами А, B, C, D, Е.
Ймовірність випадкової події
Щоб можна було приступити до математичної частини ймовірності, потрібно дати визначення всім її складовим.
Ймовірність події – це виражена в числовій формі міра можливості появи деякої події (А або B) в результаті досвіду. Позначається ймовірність як P (A) або P (B).
У теорії ймовірностей відрізняють:
достовірна подія гарантовано відбувається в результаті досвіду Р (^) = 1;
неможлива подія ніколи не може відбутися Р (^) = 0;
випадкова подія лежить між достовірною і неможливою, тобто ймовірність її появи можлива, але не гарантована (ймовірність випадкової події завжди в межах 0 1).
Стосунки між подіями
Розглядають як одну, так і суму подій А + В, коли подія зараховується при здійсненні хоча б одного зі складових, А або В, або обох – А і В.
По відношенню одна до одної події можуть бути:
Рівноважними.
Сумісними.
Несумісними.
Протилежними (взаємовиключними).
Залежними.
Якщо дві події можуть статися з рівною ймовірністю, то вони рівнозначні.
Якщо поява події А не зводить до нуля ймовірність появи події B, то вони сумісні.
Якщо події А і В ніколи не відбуваються одночасно в одному і тому ж досвіді, то їх називають несумісними. Кидання монети – хороший приклад: поява решки – це автоматично непоявлення орла.
Ймовірність для суми таких несумісних подій складається з суми ймовірностей кожної з подій:
Якщо настання однієї події унеможливлює настання іншої, то їх називають протилежними. Тоді одне з них позначають як А, а інше – ^ (читається як “не А”). Поява події А означає, що не відбулося. Ці дві події формують повну групу з сумою ймовірностей, рівною 1.
Залежні події мають взаємний вплив, зменшуючи або збільшуючи ймовірність один одного.
Стосунки між подіями. Приклади
На прикладах набагато простіше зрозуміти принципи теорії ймовірностей і комбінації подій.
Досвід, який буде проводитися, полягає у витягуванні кульок з ящика, а результату кожного досвіду – елементарний результат.
Подія – це один з можливих результатів досвіду – червона куля, синя куля, куля з номером шість тощо.
Випробування № 1. Беруть участь 6 куль, три з яких пофарбовані в синій колір, на них нанесені непарні цифри, а три інших – червоні з парними цифрами.
Випробування № 2. Беруть участь 6 куль синього кольору з цифрами від однієї до шести.
Виходячи з цього прикладу, можна назвати комбінації:
Достовірна подія. В ісп. № 2 подія “дістати синю кулю” достовірна, оскільки ймовірність її появи дорівнює 1, оскільки всі кулі сині і промаху бути не може. Тоді як подія “дістати кулю з цифрою 1” – випадкова.
Неможлива подія. В ісп. № 1 з синіми і червоними кулями подія “дістати фіолетову кулю” неможлива, оскільки ймовірність її появи дорівнює 0.
Рівнозначні події. В ісп. № 1 події “дістати кулю з цифрою 2” і “дістати кулю з цифрою 3” рівноважні, а події “дістати кулю з парним числом” і “дістати кулю з цифрою 2” мають різну ймовірність.
Сумісні події. Два рази поспіль отримати шістку в процесі кидання гральної кістки – це сумісні події.
Несумісні події. У тому ж ісп. № 1 події “дістати червону кулю” і “дістати кулю з непарним числом” не можуть бути поєднані в одному і тому ж досвіді.
Протилежні події. Найбільш яскравий приклад цього – підкидання монет, коли витягування орла рівносильне невитягуванню решки, а сума їх ймовірностей – це завжди 1 (повна група).
Залежні події. Так, в ісп. № 1 можна задатися метою витягти два рази поспіль червону кулю. Його витяг або невилікування вперше впливає на ймовірність вилучення вдруге.
Видно, що перша подія істотно впливає на ймовірність другого (40% і 60%).
Формула ймовірності події
Перехід від гидких роздумів до точних даних відбувається за допомогою переведення теми в математичну площину. Тобто судження про випадкову подію на кшталт “” велика ймовірність “” або “” мінімальна ймовірність “” можна перевести до конкретних числових даних. Такий матеріал вже допустимо оцінювати, порівнювати і вводити в більш складні розрахунки.
З точки зору розрахунку, визначення ймовірності події – це відношення кількості елементарних позитивних результатів до кількості всіх можливих результатів досвіду щодо певної події. Позначається ймовірність через Р (А), де Р означає слово “probabilite”, що з французької перекладається як “ймовірність”.
Отже, формула ймовірності події:
Де m – кількість сприятливих результатів для події А, n – сума всіх результатів, можливих для цього досвіду. При цьому ймовірність події завжди лежить між 0 і 1:
Розрахунок ймовірності події. Приклад
Візьмемо сп. № 1 з кулями, яку описано раніше: 3 синіх кулі з цифрами 1/3/5 і 3 червоних з цифрами 2/4/6.
На підставі цього випробування можна розглядати кілька різних завдань:
A – випадання червоної кулі. Червоних куль 3, а всього варіантів 6. Це найпростіший приклад, в якому ймовірність події дорівнює Р (А) = 3/6 = 0,5.
B – випадання парного числа. Всього парних чисел 3 (2,4,6), а загальна кількість можливих числових варіантів – 6. Ймовірність цієї події дорівнює Р (В) = 3/6 = 0,5.
C – випадання числа, більшого, ніж 2. Всього таких варіантів 4 (3,4,5,6) із загальної кількості можливих результатів 6. Ймовірність події C дорівнює Р (С) = 4/6 = 0,67.
Як видно з розрахунків, подія С має більшу ймовірність, оскільки кількість ймовірних позитивних результатів вища, ніж в А і В.
Несумісні події
Такі події не можуть одночасно з ‘явитися в одному і тому ж досвіді. Як у сп. № 1 неможливо одночасно дістати синю і червону кулю. Тобто можна дістати або синю, або червону кулю. Точно так само в гральній кістці не можуть одночасно з ‘явитися парне і непарне число.
Ймовірність двох подій розглядається як ймовірність їх суми або твори. Сумою таких подій А + В вважається така подія, яка полягає у появі події А або В, а твір їх АВ – у появі обох. Наприклад, поява двох шісток відразу на гранях двох кубиків в одному кидку.
Сума декількох подій являє собою подію, що передбачає появу, принаймні, однієї з них. Створення декількох подій – це спільна поява їх усіх.
У теорії ймовірності, як правило, вживання союзу “” і “” позначає суму, союзу “” або “” – множення. Формули з прикладами допоможуть зрозуміти логіку складання і множення в теорії ймовірностей.
Ймовірність суми несумісних подій
Якщо розглядається ймовірність несумісних подій, то ймовірність суми подій дорівнює складанню їх ймовірностей:
Наприклад: обчислюємо ймовірність того, що в ісп. № 1 з синіми і червоними кулями випаде число між 1 і 4. Розрахуємо не в одну дію, а сумою ймовірностей елементарних складових. Отже, в такому досвіді всього 6 куль або 6 всіх можливих результатів. Цифри, які задовольняють умову, – 2 і 3. Ймовірність випадання цифри 2 становить 1/6, ймовірність цифра 3 також 1/6. Ймовірність того, що випаде цифра між 1 і 4 дорівнює:
Ймовірність суми несумісних подій повної групи дорівнює 1.
Так, якщо в досвіді з кубиком скласти ймовірності випадання всіх цифр, то в результаті отримаємо одиницю.
Також це справедливо для протилежних подій, наприклад у досвіді з монетою, де одна її сторона – це подія А, а інша – протилежна подія ^, як відомо,
Ймовірність твору несумісних подій
Множення ймовірностей застосовують, коли розглядають появу двох і більше несумісних подій в одному спостереженні. Ймовірність того, що в ньому з ‘являться події A і B одночасно, дорівнює твору їх ймовірностей, або:
Наприклад, ймовірність того, що в ісп. № 1 в результаті двох спроб два рази з ‘явиться синя куля, дорівнює
Тобто ймовірність настання події, коли в результаті двох спроб з вилученням куль буде витягнуто тільки сині кулі, дорівнює 25%. Дуже легко виконати практичні експерименти цього завдання і побачити, чи так це насправді.
Спільні події
Події вважаються спільними, коли поява одного з них може збігтися з появою іншого. Незважаючи на те що вони спільні, розглядається ймовірність незалежних подій. Наприклад, кидання двох гральних кісток може дати результат, коли на обох з них випадає цифра 6. Хоча події збіглися і з ‘явилися одночасно, вони незалежні один від одного – могла випасти всього одна шістка, друга кістка на неї впливу не має.
Ймовірність спільних подій розглядають як ймовірність їх суми.
Ймовірність суми спільних подій. Приклад
Ймовірність суми подій А і В, які по відношенню до один одного спільні, дорівнює сумі ймовірностей події за вирахуванням ймовірності їх твору (тобто їх спільного здійснення):
Рсовместн (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ)
Припустимо, що ймовірність влучення в мішень одним пострілом дорівнює 0,4. Тоді подія А – потрапляння в мішень у першій спробі, В – у другій. Ці події спільні, оскільки не виключено, що можна вразити мішень і з першого, і з другого пострілу. Але події не є залежними. Яка ймовірність настання події ураження мішені з двох пострілів (хоча б з одного)? Згідно з формулою:
Відповідь на запитання така: “Ймовірність потрапити в ціль з двох пострілів дорівнює 64%” “.
Ця формула ймовірності події може бути застосована і до несумісних подій, де ймовірність спільно появи події Р (АВ) = 0. Це означає, що ймовірність суми несумісних подій можна вважати приватним випадком запропонованої формули.
Геометрія ймовірності для наочності
Цікаво, що ймовірність суми спільних подій може бути представлена у вигляді двох областей А і В, які перетинаються між собою. Як видно з картинки, площа їх об ‘єднання дорівнює загальній площі за мінусом області їх перетину. Це геометричне пояснення роблять більш зрозумілою нелогічну на перший погляд формулу. Зазначимо, що геометричні рішення – не рідкість у теорії ймовірностей.
Визначення ймовірності суми безлічі (більше двох) спільних подій досить громіздке. Щоб обчислити її, потрібно скористатися формулами, які передбачені для цих випадків.
Залежні події
Залежними події називаються у випадку, якщо наступ одного (А) з них впливає на ймовірність настання іншого (В). Причому враховується вплив як появи події А, так і його непояву. Хоча події і називаються залежними за визначенням, але залежно лише одне з них (В). Звичайна ймовірність позначалася як Р (В) або ймовірність незалежних подій. У випадку з залежними вводиться нове поняття – умовна ймовірність РА (В), яка є ймовірністю залежної події В за умови події А (гіпотези), від якої вона залежить.
Але ж подія А теж випадкова, тому у нього також є ймовірність, яку потрібно і можна враховувати в здійснюваних розрахунках. Далі на прикладі буде показано, як працювати з залежними подіями і гіпотезою.
Приклад розрахунку ймовірності залежних подій
Гарним прикладом для розрахунку залежних подій може стати стандартна колода карт.
На прикладі колоди в 36 карт розглянемо залежні події. Потрібно визначити ймовірність того, що друга карта, витягнута з колоди, буде бубновою мастею, якщо перша витягнута:
Очевидно, що ймовірність другої події В залежить від першого А. Так, якщо справедливий перший варіант, що в колоді стало на 1 карту (35) і на 1 бубну (8) менше, ймовірність події В:
Якщо ж справедливий другий варіант, то в колоді стало 35 карт, і як і раніше збереглося повне число бубен (9), тоді ймовірність наступної події В:
Видно, що якщо подія А домовлена в тому, що перша карта – бубна, то ймовірність події В зменшується, і навпаки.
Множення залежних подій
Керуючись попередньою главою, ми приймаємо першу подію (А) як факт, але якщо говорити по суті, вона має випадковий характер. Ймовірність цієї події, а саме вилучення бубни з колоди карт, дорівнює:
Оскільки теорія не існує сама по собі, а покликана служити в практичних цілях, то справедливо зазначити, що найчастіше потрібна ймовірність твору залежних подій.
Згідно теоремі про твір ймовірностей залежних подій, ймовірність появи спільно залежних подій А і В дорівнює ймовірності однієї події А, помножена на умовну ймовірність події В (залежної від А):
Тоді в прикладі з колодою ймовірність вилучення двох карт з майстрою бубни дорівнює:
І ймовірність вилучення спочатку не бубні, а потім бубни, рівна:
Видно, що ймовірність появи події В більше за умови, що першою витягується карта масті, відмінної від бубни. Такий результат цілком логічний і зрозумілий.
Повна ймовірність події
Коли завдання з умовними ймовірностями стає багатогранним, то звичайними методами його обчислити не можна. Коли гіпотез більше двох, а саме A1,A2. An. утворює повну групу подій за умови:
Отже, формула повної ймовірності для події В при повній групі випадкових подій A1,A2. An рівна:
Погляд у майбутнє
Ймовірність випадкової події вкрай необхідна в багатьох сферах науки: економетриці, статистиці, у фізиці тощо. Оскільки деякі процеси неможливо описати детерміновано, оскільки вони самі мають ймовірнісний характер, необхідні особливі методи роботи. Теорія ймовірності події може бути використана в будь-якій технологічній сфері як спосіб визначити можливість помилки або несправності.
Можна сказати, що, дізнаючись ймовірність, ми деяким чином робимо теоретичний крок у майбутнє, роздивляючись його через призму формул.
Випадкова подія. Частота та ймовірність випадкової події.
У кошику є лише червоні і зелені яблука .З нього навмання виймають одне яблуко .Які з цих подій А, В,С,D при цьому не може відбутись:
експеримент, спостереження, випробування, результат якого залежить від випадку і який можна повторити багато разів за одних і тих самих умов
експеримент, спостереження, випробування, результат якого залежить від випадку і який не можна повторити
експеримент, спостереження, випробування, результат якого залежить від випадку і який не можна повторити багато разів навіть за одних і тих самих умов
Дослід полягає в підкиданні кубика 200 разів поспіль . Нехай випадкова подія А – випадання двійки . Під час досліду ця подія відбулася 25 разів. Знайдіть відносну частоту події А
Ймовірність події. Визначення ймовірності події
Спочатку, будучи всього лише зборами відомостей і емпіричних спостережень за грою в кістці, теорія ймовірності стала ґрунтовною наукою. Першими, хто надав їй математичний каркас, були Ферма і Паскаль.
Від роздумів про вічне до теорії ймовірностей
Що таке випадковість
Ймовірність випадкової події
Стосунки між подіями
Стосунки між подіями. Приклади
Формула ймовірності події
Розрахунок ймовірності події. Приклад
Несумісні події
Ймовірність суми несумісних подій
Ймовірність твору несумісних подій
Спільні події
Ймовірність суми спільних подій. Приклад
Геометрія ймовірності для наочності
Залежні події
Приклад розрахунку ймовірності залежних подій
Множення залежних подій
Повна ймовірність події
Погляд у майбутнє
Від роздумів про вічне до теорії ймовірностей
Дві особи, яким теорія ймовірностей зобов ‘язана багатьма фундаментальними формулами, Блез Паскаль і Томас Байєс, відомі як глибоко віруючі люди, останній був пресвітеріанським священиком. Мабуть, прагнення цих двох вчених довести помилковість думки про якусь Фортуну, що дарує удачу своїм улюбленцям, дало поштовх до досліджень у цій галузі. Адже насправді будь-яка азартна гра з її виграшами і програшами – це всього лише симфонія математичних принципів.
Завдяки азарту кавалера де Мере, який рівною мірою був гравцем і людиною небайдужою до науки, Паскаль змушений був знайти спосіб розрахунку ймовірності. Де Мере цікавило таке питання: “” Скільки разів потрібно викидати попарно дві кістки, щоб ймовірність отримати 12 очок перевищувала 50%? “”. Друге питання, яке вкрай цікавило кавалера: “Як розділити ставку між учасниками незакінченої гри?” Зрозуміло, Паскаль успішно відповів на обидва запитання де Мере, який став мимовільним зачинателем розвитку теорії ймовірностей. Цікаво, що персона де Мере так і залишилася відома в даній області, а не в літературі.
Раніше жоден математик ще не робив спроб обчислювати ймовірності подій, оскільки вважалося, що це лише гидке рішення. Блез Паскаль дав перше визначення ймовірності події і показав, що це конкретна цифра, яку можна обґрунтувати математичним шляхом. Теорія ймовірностей стала основою для статистики і широко застосовується в сучасній науці.
Що таке випадковість
Якщо розглядати випробування, яке можна повторити нескінченне число разів, тоді можна дати визначення випадкової події. Це один з ймовірних результатів досвіду.
Досвідом є здійснення конкретних дій у незмінних умовах.
Щоб можна було працювати з результатами досвіду, події зазвичай позначають літерами А, B, C, D, Е.
Ймовірність випадкової події
Щоб можна було приступити до математичної частини ймовірності, потрібно дати визначення всім її складовим.
Ймовірність події – це виражена в числовій формі міра можливості появи деякої події (А або B) в результаті досвіду. Позначається ймовірність як P (A) або P (B).
У теорії ймовірностей відрізняють:
достовірна подія гарантовано відбувається в результаті досвіду Р (^) = 1;
неможлива подія ніколи не може відбутися Р (^) = 0;
випадкова подія лежить між достовірною і неможливою, тобто ймовірність її появи можлива, але не гарантована (ймовірність випадкової події завжди в межах 0 1).
Стосунки між подіями
Розглядають як одну, так і суму подій А + В, коли подія зараховується при здійсненні хоча б одного зі складових, А або В, або обох – А і В.
По відношенню одна до одної події можуть бути:
Рівноважними.
Сумісними.
Несумісними.
Протилежними (взаємовиключними).
Залежними.
Якщо дві події можуть статися з рівною ймовірністю, то вони рівнозначні.
Якщо поява події А не зводить до нуля ймовірність появи події B, то вони сумісні.
Якщо події А і В ніколи не відбуваються одночасно в одному і тому ж досвіді, то їх називають несумісними. Кидання монети – хороший приклад: поява решки – це автоматично непоявлення орла.
Ймовірність для суми таких несумісних подій складається з суми ймовірностей кожної з подій:
Якщо настання однієї події унеможливлює настання іншої, то їх називають протилежними. Тоді одне з них позначають як А, а інше – ^ (читається як “не А”). Поява події А означає, що не відбулося. Ці дві події формують повну групу з сумою ймовірностей, рівною 1.
Залежні події мають взаємний вплив, зменшуючи або збільшуючи ймовірність один одного.
Стосунки між подіями. Приклади
На прикладах набагато простіше зрозуміти принципи теорії ймовірностей і комбінації подій.
Досвід, який буде проводитися, полягає у витягуванні кульок з ящика, а результату кожного досвіду – елементарний результат.
Подія – це один з можливих результатів досвіду – червона куля, синя куля, куля з номером шість тощо.
Випробування № 1. Беруть участь 6 куль, три з яких пофарбовані в синій колір, на них нанесені непарні цифри, а три інших – червоні з парними цифрами.
Випробування № 2. Беруть участь 6 куль синього кольору з цифрами від однієї до шести.
Виходячи з цього прикладу, можна назвати комбінації:
Достовірна подія. В ісп. № 2 подія “дістати синю кулю” достовірна, оскільки ймовірність її появи дорівнює 1, оскільки всі кулі сині і промаху бути не може. Тоді як подія “дістати кулю з цифрою 1” – випадкова.
Неможлива подія. В ісп. № 1 з синіми і червоними кулями подія “дістати фіолетову кулю” неможлива, оскільки ймовірність її появи дорівнює 0.
Рівнозначні події. В ісп. № 1 події “дістати кулю з цифрою 2” і “дістати кулю з цифрою 3” рівноважні, а події “дістати кулю з парним числом” і “дістати кулю з цифрою 2” мають різну ймовірність.
Сумісні події. Два рази поспіль отримати шістку в процесі кидання гральної кістки – це сумісні події.
Несумісні події. У тому ж ісп. № 1 події “дістати червону кулю” і “дістати кулю з непарним числом” не можуть бути поєднані в одному і тому ж досвіді.
Протилежні події. Найбільш яскравий приклад цього – підкидання монет, коли витягування орла рівносильне невитягуванню решки, а сума їх ймовірностей – це завжди 1 (повна група).
Залежні події. Так, в ісп. № 1 можна задатися метою витягти два рази поспіль червону кулю. Його витяг або невилікування вперше впливає на ймовірність вилучення вдруге.
Видно, що перша подія істотно впливає на ймовірність другого (40% і 60%).
Формула ймовірності події
Перехід від гидких роздумів до точних даних відбувається за допомогою переведення теми в математичну площину. Тобто судження про випадкову подію на кшталт “” велика ймовірність “” або “” мінімальна ймовірність “” можна перевести до конкретних числових даних. Такий матеріал вже допустимо оцінювати, порівнювати і вводити в більш складні розрахунки.
З точки зору розрахунку, визначення ймовірності події – це відношення кількості елементарних позитивних результатів до кількості всіх можливих результатів досвіду щодо певної події. Позначається ймовірність через Р (А), де Р означає слово “probabilite”, що з французької перекладається як “ймовірність”.
Отже, формула ймовірності події:
Де m – кількість сприятливих результатів для події А, n – сума всіх результатів, можливих для цього досвіду. При цьому ймовірність події завжди лежить між 0 і 1:
Розрахунок ймовірності події. Приклад
Візьмемо сп. № 1 з кулями, яку описано раніше: 3 синіх кулі з цифрами 1/3/5 і 3 червоних з цифрами 2/4/6.
На підставі цього випробування можна розглядати кілька різних завдань:
A – випадання червоної кулі. Червоних куль 3, а всього варіантів 6. Це найпростіший приклад, в якому ймовірність події дорівнює Р (А) = 3/6 = 0,5.
B – випадання парного числа. Всього парних чисел 3 (2,4,6), а загальна кількість можливих числових варіантів – 6. Ймовірність цієї події дорівнює Р (В) = 3/6 = 0,5.
C – випадання числа, більшого, ніж 2. Всього таких варіантів 4 (3,4,5,6) із загальної кількості можливих результатів 6. Ймовірність події C дорівнює Р (С) = 4/6 = 0,67.
Як видно з розрахунків, подія С має більшу ймовірність, оскільки кількість ймовірних позитивних результатів вища, ніж в А і В.
Несумісні події
Такі події не можуть одночасно з ‘явитися в одному і тому ж досвіді. Як у сп. № 1 неможливо одночасно дістати синю і червону кулю. Тобто можна дістати або синю, або червону кулю. Точно так само в гральній кістці не можуть одночасно з ‘явитися парне і непарне число.
Ймовірність двох подій розглядається як ймовірність їх суми або твори. Сумою таких подій А + В вважається така подія, яка полягає у появі події А або В, а твір їх АВ – у появі обох. Наприклад, поява двох шісток відразу на гранях двох кубиків в одному кидку.
Сума декількох подій являє собою подію, що передбачає появу, принаймні, однієї з них. Створення декількох подій – це спільна поява їх усіх.
У теорії ймовірності, як правило, вживання союзу “” і “” позначає суму, союзу “” або “” – множення. Формули з прикладами допоможуть зрозуміти логіку складання і множення в теорії ймовірностей.
Ймовірність суми несумісних подій
Якщо розглядається ймовірність несумісних подій, то ймовірність суми подій дорівнює складанню їх ймовірностей:
Наприклад: обчислюємо ймовірність того, що в ісп. № 1 з синіми і червоними кулями випаде число між 1 і 4. Розрахуємо не в одну дію, а сумою ймовірностей елементарних складових. Отже, в такому досвіді всього 6 куль або 6 всіх можливих результатів. Цифри, які задовольняють умову, – 2 і 3. Ймовірність випадання цифри 2 становить 1/6, ймовірність цифра 3 також 1/6. Ймовірність того, що випаде цифра між 1 і 4 дорівнює:
Ймовірність суми несумісних подій повної групи дорівнює 1.
Так, якщо в досвіді з кубиком скласти ймовірності випадання всіх цифр, то в результаті отримаємо одиницю.
Також це справедливо для протилежних подій, наприклад у досвіді з монетою, де одна її сторона – це подія А, а інша – протилежна подія ^, як відомо,
Ймовірність твору несумісних подій
Множення ймовірностей застосовують, коли розглядають появу двох і більше несумісних подій в одному спостереженні. Ймовірність того, що в ньому з ‘являться події A і B одночасно, дорівнює твору їх ймовірностей, або:
Наприклад, ймовірність того, що в ісп. № 1 в результаті двох спроб два рази з ‘явиться синя куля, дорівнює
Тобто ймовірність настання події, коли в результаті двох спроб з вилученням куль буде витягнуто тільки сині кулі, дорівнює 25%. Дуже легко виконати практичні експерименти цього завдання і побачити, чи так це насправді.
Спільні події
Події вважаються спільними, коли поява одного з них може збігтися з появою іншого. Незважаючи на те що вони спільні, розглядається ймовірність незалежних подій. Наприклад, кидання двох гральних кісток може дати результат, коли на обох з них випадає цифра 6. Хоча події збіглися і з ‘явилися одночасно, вони незалежні один від одного – могла випасти всього одна шістка, друга кістка на неї впливу не має.
Ймовірність спільних подій розглядають як ймовірність їх суми.
Ймовірність суми спільних подій. Приклад
Ймовірність суми подій А і В, які по відношенню до один одного спільні, дорівнює сумі ймовірностей події за вирахуванням ймовірності їх твору (тобто їх спільного здійснення):
Рсовместн (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ)
Припустимо, що ймовірність влучення в мішень одним пострілом дорівнює 0,4. Тоді подія А – потрапляння в мішень у першій спробі, В – у другій. Ці події спільні, оскільки не виключено, що можна вразити мішень і з першого, і з другого пострілу. Але події не є залежними. Яка ймовірність настання події ураження мішені з двох пострілів (хоча б з одного)? Згідно з формулою:
Відповідь на запитання така: “Ймовірність потрапити в ціль з двох пострілів дорівнює 64%” “.
Ця формула ймовірності події може бути застосована і до несумісних подій, де ймовірність спільно появи події Р (АВ) = 0. Це означає, що ймовірність суми несумісних подій можна вважати приватним випадком запропонованої формули.
Геометрія ймовірності для наочності
Цікаво, що ймовірність суми спільних подій може бути представлена у вигляді двох областей А і В, які перетинаються між собою. Як видно з картинки, площа їх об ‘єднання дорівнює загальній площі за мінусом області їх перетину. Це геометричне пояснення роблять більш зрозумілою нелогічну на перший погляд формулу. Зазначимо, що геометричні рішення – не рідкість у теорії ймовірностей.
Визначення ймовірності суми безлічі (більше двох) спільних подій досить громіздке. Щоб обчислити її, потрібно скористатися формулами, які передбачені для цих випадків.
Залежні події
Залежними події називаються у випадку, якщо наступ одного (А) з них впливає на ймовірність настання іншого (В). Причому враховується вплив як появи події А, так і його непояву. Хоча події і називаються залежними за визначенням, але залежно лише одне з них (В). Звичайна ймовірність позначалася як Р (В) або ймовірність незалежних подій. У випадку з залежними вводиться нове поняття – умовна ймовірність РА (В), яка є ймовірністю залежної події В за умови події А (гіпотези), від якої вона залежить.
Але ж подія А теж випадкова, тому у нього також є ймовірність, яку потрібно і можна враховувати в здійснюваних розрахунках. Далі на прикладі буде показано, як працювати з залежними подіями і гіпотезою.
Приклад розрахунку ймовірності залежних подій
Гарним прикладом для розрахунку залежних подій може стати стандартна колода карт.
На прикладі колоди в 36 карт розглянемо залежні події. Потрібно визначити ймовірність того, що друга карта, витягнута з колоди, буде бубновою мастею, якщо перша витягнута:
Очевидно, що ймовірність другої події В залежить від першого А. Так, якщо справедливий перший варіант, що в колоді стало на 1 карту (35) і на 1 бубну (8) менше, ймовірність події В:
Якщо ж справедливий другий варіант, то в колоді стало 35 карт, і як і раніше збереглося повне число бубен (9), тоді ймовірність наступної події В:
Видно, що якщо подія А домовлена в тому, що перша карта – бубна, то ймовірність події В зменшується, і навпаки.
Множення залежних подій
Керуючись попередньою главою, ми приймаємо першу подію (А) як факт, але якщо говорити по суті, вона має випадковий характер. Ймовірність цієї події, а саме вилучення бубни з колоди карт, дорівнює:
Оскільки теорія не існує сама по собі, а покликана служити в практичних цілях, то справедливо зазначити, що найчастіше потрібна ймовірність твору залежних подій.
Згідно теоремі про твір ймовірностей залежних подій, ймовірність появи спільно залежних подій А і В дорівнює ймовірності однієї події А, помножена на умовну ймовірність події В (залежної від А):
Тоді в прикладі з колодою ймовірність вилучення двох карт з майстрою бубни дорівнює:
І ймовірність вилучення спочатку не бубні, а потім бубни, рівна:
Видно, що ймовірність появи події В більше за умови, що першою витягується карта масті, відмінної від бубни. Такий результат цілком логічний і зрозумілий.
Повна ймовірність події
Коли завдання з умовними ймовірностями стає багатогранним, то звичайними методами його обчислити не можна. Коли гіпотез більше двох, а саме A1,A2. An. утворює повну групу подій за умови:
Отже, формула повної ймовірності для події В при повній групі випадкових подій A1,A2. An рівна:
Погляд у майбутнє
Ймовірність випадкової події вкрай необхідна в багатьох сферах науки: економетриці, статистиці, у фізиці тощо. Оскільки деякі процеси неможливо описати детерміновано, оскільки вони самі мають ймовірнісний характер, необхідні особливі методи роботи. Теорія ймовірності події може бути використана в будь-якій технологічній сфері як спосіб визначити можливість помилки або несправності.
Можна сказати, що, дізнаючись ймовірність, ми деяким чином робимо теоретичний крок у майбутнє, роздивляючись його через призму формул.

Який шанс випадання двох шісток

Як обчислити вірогідність

Випадкова подія. Ймовірність випадкової події.

Ймовірність події. Визначення ймовірності події

Від роздумів про вічне до теорії ймовірностей

Що таке випадковість

Ймовірність випадкової події

Стосунки між подіями

Стосунки між подіями. Приклади

Формула ймовірності події

Розрахунок ймовірності події. Приклад

Несумісні події

Ймовірність суми несумісних подій

Ймовірність твору несумісних подій

Спільні події

Ймовірність суми спільних подій. Приклад

Геометрія ймовірності для наочності

Залежні події

Приклад розрахунку ймовірності залежних подій

Множення залежних подій

Повна ймовірність події

Погляд у майбутнє

Випадкова подія. Частота та ймовірність випадкової події.