Паралелограм. Формули, ознаки та властивості паралелограма

Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні (лежать на паралельних прямих).

Паралелограми відрізняються між собою як розміром прилеглих сторін, так і кутами, проте протилежні кути однакові.

Ознаки паралелограма

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2

Основні властивості паралелограма

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

8. Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину розділяють одна одну навпіл:

Сторони паралелограма

Формули визначення довжин сторін паралелограма:

1. Фрмула сторін паралелограма через діагоналі та кут між ними:

2. Формула сторін паралелограма через діагоналі та іншу сторону:

Діагоналі паралелограма

Діагоналлю паралелограма називається будь-який відрізок який сполучає дві вершини протилежних кутів паралелограма.

Формули визначення довжини діагоналі паралелограма:

d ₁ = √ 2 a 2 + 2 b 2 – d ₂ 2

d ₂ = √ 2 a 2 + 2 b 2 – d ₁ 2

4. Формула діагоналі паралелограма через площу, відому діагональ та кут між діагоналями:

Периметр паралелограма

Формули визначення довжини периметру паралелограма:

P = 2 a + √ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 – 4 a 2

P = 2 b + √ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 – 4 b 2

Площа паралелограма

Площею паралелограма називається простір який обмежений сторонами паралелограма, тобто в межах периметру паралелограма.

Формули визначення площі паралелограма:

3. Формула площі паралелограма через дві діагоналі та синус кутa між ними:

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Відстань між двома точками

Виведення формули для обчислення відстані між двома точками на площині

З точок A та B опустимо перпендикуляри на осі координат.

Розглянемо прямокутний трикутник ∆ABC. Катети цього трикутника дорівнюють:

Використавши теорему Піфагора, обрахуємо довжину відрізку AB:

Підставивши в цей вираз довжини відрізків AC та BC, виражені через координати точок A та B, отримаємо формулу для обрахунку відстані між точками на площині.

Формула для обчислення відстані між двома точками в просторі доводиться аналогічно.

Приклади задач на обчислення відстані між двома точками

Приклади обчислення відстані між двома точками на площині

AB = √ ( x_b – x_a ) 2 + ( y_b – y_a ) 2 = √ (6 – (-1)) 2 + (2 – 3) 2 = √ 7 2 + 1 2 = √ 50 = 5√ 2

Приклади обчислення відстані між двома точками в просторі

= √ (6 – (-1)) 2 + (2 – 3) 2 + (-2 – 3) 2 = √ 7 2 + 1 2 + 5 2 = √ 75 = 5√ 3

Коло, круг, сегмент, сектор. Формули та властивості кола

Означення. Коло — це сукупність усіх точок на площині, які знаходяться на однаковій відстані від заданої точки О, яка називається центром кола.

Основні властивості кола

5. Якщо два кола дотикаються в одній точці, то ця точка лежить на прямій, що проходить через центри цих кіл.

Формули довжини кола та площі круга

Формули довжини кола

Формули площі круга

Рівняння кола

2. Рівняння кола з радіусом r та центром у точці з координатами ( a, b ) в декартовій системи координат:

3. Параметричне рівняння кола з радіусом r та центром у точці з координатами ( a, b ) в декартовій системи координат:

Дотична до кола та її властивості

Основні властивості дотичних до кола

3. Якщо дві дотичні, з точками дотику B та C, на одному колі не паралельні, то вони перетинаються в точці A, а відрізок між точкою дотику та точкою перетину однієї дотичної дорівнює такому ж відрізку на іншій дотичній:

Також, якщо провести пряму через центр кола О та точкою перетину A цих дотичних, то кут утворений між однією дотичною і цією прямою, буде дорівнювати куту між іншою дотичною та цією прямою:

Січна кола та її властивості

Основні властивості січних

1. Якщо з точки поза колом (Q) виходять дві січні, які перетинають коло у двох точках A і B для однієї січної та C і D для іншої січної, то добутки відрізків двох січних рівні між собою:

2. Якщо з точки поза колом Q виходить січна, що перетинає коло у двох точках A і B, та дотична з точкою дотику C, то добуток відрізків січної дорівнює квадрату довжини відрізка дотичної: