Що таке сфера?
Поняття «сфера» знайоме нам ще зі школи. Так, наприклад, сферу вивчають на геометрії, сфери життя суспільства проходять на обществознании, а про сферу послуг говорять на економіці. Коли ми закінчуємо навчання, ми шукаємо сферу діяльності, яка нам близька.
А що ж таке сфера? Давайте розбиратися.
Сфера в геометрії
Сфера – слово грецького походження. Дослівно воно перекладається як “м’яч” або “куля”. Дійсно, куля і сфера – поняття дуже близькі в математиці. Однак сфера є, в першу чергу, поверхнею обертання. Утворена вона від обертання півкола навколо свого діаметра. У той же час сфера є поверхнею кулі. В геометрії виведені основні формули для розрахунку різних параметрів сфери:
- Площа сфери: S = 4pi-r 2 = Pi-d 2
- Об’єм кулі, обмеженого сферою: 4 / 3pi-r 3
- Площа сегмента сфери: s = 1pi-rH, де H – висота сегмента.
Цікаво, що сфера має найменшу площу з усіх геометричних поверхонь, які обмежували б даний обсяг. Саме тому крапля води в падінні набуває сферичну форму.
У сучасній геометрії існує цілий розділ, який вивчає різні властивості сфери, описує різні фігури на її поверхні.
Дізнатися про інших термінах і поняттях в геометрії ви можете зі статей розділу Геометричні поняття.
Сфера в природознавстві
З описом сфери як геометричного поняття стали з’являтися відкриття в інших природничих науках. Наприклад, у Стародавній Греції була концепція гармонії сфер. Одне з ключових понять цієї теорії – «музика сфер». Крім того, в цей же час була поширена теорія про те, що всі небесні тіла – це сфери, заповнені ефіром, які особливим чином обертаються навколо планети Земля. Саме їх постулати взяв за основу Микола Коперник. До цих пір сфера є ключовим описовим терміном для астрономів, зокрема, поняття: «небесна сфера».
Поняття “сфера” зустрічається і в сучасних природничих науках. В екології, наприклад, говорять про сферу обитания – місці, де проживає якийсь певний вид живих істот.
У медицині дане поняття вживається в офтальмології. Так, сферою називають оптичну силу лінзи, виражену в діоптріях.
Сфери життя суспільства
Поняття “сфера” є не тільки в точних науках. Так, наприклад, в соціології та суспільствознавство є поняття “сфери суспільного життя”. Під цим терміном розуміють якісь стійкі відносини між соціальними об’єктами. Простіше кажучи, сфери суспільства – це великі системи суспільного життя. Наприклад, соціальна сфера, економічна, політична духовна і т. П.
Природно, всі сфери суспільства впливають один на одного. Крім того, важливо, що це динамічні утворення, які можуть сильно мінятися залежно від подій і часу. А в залежності від часу вплив будь-якої зі сфер може бути сильніше. Приміром, у Середньовіччі духовна сфера була чільною над іншими.
Сфера діяльності
Що таке сфера діяльності, можна розглянути у двох значеннях: у широкому і вузькому. У широкому сенсі це якась область або коло дій, в межах якої поширюється професійна діяльність людини (наприклад, юриспруденція, клінічна психологія, торгівля і т. П.). Вузьке значення терміна застосовно до конкретної організації. Так, під сферою діяльності розуміють послуги та роботи, які передбачені статутом організації чи підприємства. Фактично, це те, чим може займатися організація. Сфера діяльності в даному випадку регламентується законодавством.
Сфера спілкування
У суспільних науках є ще одне вживання поняття «сфера». Так, під сферою спілкування розуміють деяку частину людської діяльності, якій притаманні схожі умови спілкування, вживані слова (наприклад, жаргон або терміни), а також саме використання мови. Наприклад, у сфері освіти кажуть зовсім по-іншому, ніж у промисловому виробництві. Сфера спілкування може бути галузева (що стосується спілкування в рамках якоїсь діяльності), а також міжособистісна сфера спілкування (наприклад, всередині сім’ї, компанії і т. Д.).
Як бачите, поняття “сфера” досить широке і може застосовуватися в різних областях.
Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства сферы
Сфера (поверхность шара) — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).
Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.
Шар — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).
Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.
Определение. Радиус сферы (шара) (R) – это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).
Определение. Диаметр сферы (шара) (D) – это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.
Формула. Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:
S = 4 π R 2 = π D 2
Уравнение сферы
1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат:
x 2 + y 2 + z 2 = R 2
2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами ( x 0, y 0, z 0) в декартовой системе координат:
( x – x 0) 2 + ( y – y 0) 2 + ( z – z 0) 2 = R 2
3. Параметрическое уравнение сферы с центром в точке ( x 0, y 0, z 0):
x = x 0 + R · sin θ · cos φ y = y 0 + R · sin θ · sin φ z = z 0 + R · cos θ
где θ ϵ [0, π ], φ ϵ [0,2 π ].
Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.
Основные свойства сферы и шара
4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.
5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.
6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.
7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.
8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются, а в плоскости пересечения образуется круг.
Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства
Определение. Секущая сферы – это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.
Определение. Хорда сферы (шара) – это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).
Определение. Секущая плоскость – это плоскость, которая пересекает сферу.
Определение. Диаметральная плоскость – это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сечение образует соответственно большую окружность и большой круг. Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).
Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.
Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:
Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:
Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность, а на шаре местом сечения будет малый круг. Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара). Радиус r такого круга можно найти по формуле:
где R – радиус сферы (шара), m – расстояние от центра шара до секущей плоскости.
Определение. Полусфера (полушар) – это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.
Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства
Определение. Касательная к сфере – это прямая, которая касается сферы только в одной точке.
Определение. Касательная плоскость к сфере – это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.
Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения
Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.
Определение. Сегмент шара – это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.
Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:
Формула. Объём сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:
Определение. Срез шара – это часть шара, которая образуется в результате его сечения двумя параллельными плоскостями и находится между ними.
Определение. Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r .
Формула. Площадь поверхности сектора S с высотой O1H (h) через радиус шара OH (R):
S = π R(2 h + √ 2 h R – h 2 )
Формула. Объём сектора V с высотой O1H (h) через радиус шара OH (R):
Определение. Касательными сферами (шарами) называются любые две сферы (шара), которые имеют одну общую точку соприкосновения. Если расстояние между центрами больше суммы радиусов, то фигуры не касаются и не пересекаются.
Определение. Концентрическими сферами называются любые две сферы, которые имеют общий центр и радиусы различной длины.
Як позначати сферу
Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція – підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.
Контакти
Адміністратор,
розв’язування задач
Роман
Tel. +380685083397
[email protected]
skype,facebook:
roman.yukhym
Розв’язування задач
Андрій
facebook:
dniprovets25
