Зміст:
Побудова перетинів тетраедра
Для вирішення багатьох геометричних задач, пов’язаних з тетраедром, корисно вміти будувати на малюнку їх перетину різними площинами. (Слайд 3). Назвемо січною площиною тетраедра будь-яку площину, по обидва боки від якої є точки даного тетраедра. Січна площина перетинає грані тетраедра по відрізках. Багатокутник, сторонами якого є ці відрізки, називається перетином тетраедра. Так як тетраедр має чотири грані, то його перетинами можуть бути тільки трикутники і чотирикутники. Відзначимо також, що для побудови перетину досить побудувати точки перетину січної площини з ребрами тетраедра, після чого залишається провести відрізки, що з’єднують кожні дві побудовані точки, що лежать в одній і тій же межі.
На цьому уроці ви зможете детально вивчити перетину тетраедра, освоїти методи побудови цих перетинів. Ви дізнаєтеся п’ять правил побудови перерізів многогранників, навчитеся знаходити положення точок перетину січної площини з ребрами тетраедра.
Актуалізація опорних понять
- Перше правило. Якщо дві точки належать як січної площини, так і площині деякої межі багатогранника, то пряма, що проходить через ці дві точки, є лінією перетину січної площини з площиною цієї межі (наслідок аксіоми про перетин площин).
- Друге правило. Якщо січна площина паралельна деякій площині, то ці дві площини перетинаються з будь-якою гранню вздовж паралельних прямих (властивість двох паралельних площин, пересічених третьої).
- Третє правило. Якщо січна площина паралельна прямій, що лежить в деякій площині (наприклад, площини якийсь межі), то лінія перетину січної площини з цією площиною (гранню) паралельна цій прямій (властивість прямої, паралельної площині).
- Четверте правило. Січна площина перетинає паралельні грані вздовж паралельних прямих (властивість паралельних площин, пересічених третьої).
- П’яте правило. Нехай дві точки А і В належать січною площині, а точки A1 і B1 є паралельними проекціями цих точок на деяку грань. Якщо прямі АВ і A1 B1 паралельні, то січна площина перетинає цю межу по прямій, паралельної A1 B1. Якщо ж прямі АВ і A1 B1 перетинаються в деякій точці, то ця точка належить як січної площини, так і площині цієї межі (перша частина цієї теореми випливає з властивості прямої, паралельної площині, а друга випливає з додаткових властивостей паралельної проекції).
III. Вивчення нового матеріалу (формування знань, умінь)
Колективне рішення задач з поясненням (слайд 4)
Завдання 1.Постройте перетин тетраедра ДАВС площиною, що проходить через точки К є АТ, М є ДС, Е є ВС.
Уважно подивимося на креслення. Так як точки К і М належать одній площині, то ми знаходимо перетин січної площини з межею АДС – це відрізок КМ. Точки М і Е також лежать в одній площині, значить перетином січної площини, і межі ВДС є відрізок МО. Знаходимо точку перетину прямих КМ і АС, які лежать в одній площині АДС. Тепер точка Х лежить в межі АВС, то її можна поєднати з точкою Е. Проводимо пряму ХЕ, яка перетинається з АВ в точці Р. Відрізок РЕ є перетин січної площини з межею АВС, а відрізок КР є перетин січної площини з межею АВС. Отже, чотирикутник КМЕР наше шукане перетин. Запис рішення в зошиті:
Побудуйте перетин тетраедра ДАВС площиною, що проходить через точки К є АВС, М є ВДС, N є АТ
Проаналізуємо цей малюнок. Тут немає точок, що лежать в одній грані. У цей випадку скористаємося правилом 5. Розглянемо проекції яких-небудь двох точок. У тетраедра проекції точок знаходять з вершини на площину основи, тобто М → М1. N → А. Знаходимо перетин прямих NM і AM1 точку Х.Данная точка належить січної площини, так як лежить на прямій NM, належить площині АВС, так як лежить на прямій АМ1. Значить, тепер в площині АВС у нас є дві точки, які можна з’єднати, отримуємо пряму КХ. Пряма перетинає сторону ВС в точці L, а сторону АВ в точці Н. В межі АВC знаходимо лінію перетину, вона проходить через точки Н і К – це НL. В межі АВД лінія перетину – НN, в межі ВДС проводимо лінію перетину через точки L і М – це LQ і в межі АДС отримуємо відрізок NQ. Чотирикутник HNQL – шукане перетин.
IV. закріплення знань
Робота з анімаційним об’єктом «Побудова перетину тетраедра з площиною» (диск «Уроки геометрії в 10 класі» урок №16)
Рішення завдання з подальшою перевіркою
Побудуйте перетин тетраедра ДАВС площиною, що проходить через точки К є ВС. М є АДВ, N є ВДС.
V.Самостоятельная робота (за варіантами)
Завдання 4.Постройте перетин тетраедра ДАВС площиною, що проходить через точки М є АВ, N є АС, К є АТ.
Завдання 5.Постройте перетин тетраедра ДАВС площиною, що проходить через точки М є АВ, К є ДС, N є ДВ.
Завдання 6.Постройте перетин тетраедра ДАВС площиною, що проходить через точки М є АВС, К є ВД, N є ДС
- KN = α ∩ ДВС
- Х = КN ∩ ВС
- Т = МХ ∩ АВР = ТХ ∩ АС
- РТ = α ∩ АВС, М є РТ
- PN = α ∩ АДС
- ТР N K – шукане перетин
VI. Підсумок уроку.
Отже, ми сьогодні навчилися будувати найпростіші завдання на перетину тетраедра. Нагадую, що перетином багатогранника називається багатокутник, отриманий в результаті перетину многогранника з деякою площиною. Сама площину при цьому називається січною площиною. Побудувати переріз значить визначити, які ребра перетинає січна площина, вид отриманого перерізу і точне положення точок перетину січної площини з цими ребрами. Тобто, ті цілі, які були поставлені на уроці, вирішені.
VII. Домашнє завдання.
Практична робота «Побудувати перетину тетраедра» в електронному вигляді або паперовому варіанті. (Кожному було дано індивідуальне завдання).
Схожі статті
1. Тетраедр. Види тетраедрів
Тетраедр (чотиригранник) — багатогранник, гранями якого є чотири трикутники. (з грецької tetra — чотири та hedra — грань).
Один з трикутників називається основою тетраедра, а три інші — бічними гранями тетраедра.
З визначення правильного багатогранника виходить, що всі ребра тетраедра мають рівну довжину, а грані — рівну площу.
Дві грані паралелепіпеда, що мають спільне ребро, називаються суміжними , а не мають спільних ребер — протилежними .
Зазвичай виділяють якісь дві протилежні грані і називають їх основами , а інші грані — бічними гранями паралелепіпеда.
Відрізок, що з’єднує дві вершини, що не належать одній грані, називається діагоналлю паралелепіпеда (Рис. 5.).
