Фізика 11 клас
З попередніх класів ви знаєте, що математичним маятником вважають точкове тіло, підвішене до нерозтяжної і невагомої нитки. Математичний маятник — це поняття абстрактне, тому що: розміри кульки набагато менші за довжину нитки, цими розмірами можна нехтувати і розглядати кульку як матеріальну точку. Розтягом нитки також можна нехтувати, оскільки він дуже малий. Можна нехтувати і масою нитки порівняно з масою кульки.
Отже, з певним наближенням математичним маятником можна вважати кульку, підвішену на нитці (мал. 106). Рівняння руху математичного маятника має вигляд
Разом з цим, розглядаючи рух проекції тіла, яке рівномірно обертається по колу, можна записати
Прирівнюючи ці рівняння, отримаємо
Ця формула для визначення періоду коливань математичного маятника була виведена і перевірена на дослідах голландським фізиком К. Гюйгенсом (1629 — 1695), тому її часто називають формулою Гюйгенса.
Період коливань математичного маятника залежить лише від прискорення вільного падіння в даному місці Землі і від довжини маятника. Період не залежить від амплітуди коливань і від маси підвішеного тягарця, що легко перевірити на дослідах з різними маятниками. Слід лише пам’ятати, що розміри тягарця мають бути малими порівняно з довжиною підвісу і що малим має бути також кут відхилення маятника від вертикалі. З наведеної залежності періоду коливань математичного маятника можна легко експериментально визначити прискорення вільного падіння. Для цього треба виміряти довжину маятника і період його коливань.
Залежність періоду коливань математичного маятника від Прискорення вільного падіння використовується для точних вимірювань прискорення вільного падіння на поверхні Землі. Річ у тому, що прискорення вільного падіння в різних точках земної поверхні на одній і тій самій географічній широті є неоднаковим і залежить, хоча й незначно, від густини порід, з яких складаються верхні шари земної кори.
Усяке тіло, що має вісь обертання, яка не проходить через центр мас, здатне здійснювати коливання. Такі тіла називають фізичними маятниками. Нехай ми маємо тіло довільної форми, закріплене на осі обертання О (мал. 107). Центр мас цього тіла — точка С. Відстань від осі обертання до центра мас позначимо а. Якщо таке тіло вивести зі стану рівноваги і відпустити, то воно здійснюватиме коливання під дією рівнодійної сили тяжіння та сили пружності, що виникає в самому тілі. У будь-який момент часу рівнодійна сил напрямлена до положення рівноваги. Отже, маємо необхідні умови для виникнення коливань, як у разі коливань тягарця на пружині та математичного маятника. Формула для визначення періоду коливань фізичного маятника за аналогією з формулою для математичного маятника матиме такий вигляд:
де т — маса фізичного маятника; g — прискорення вільного падіння; а — відстань від осі обертання до центра мас маятника.
У формулу входить величина І, що характеризує інертні властивості тіл, які обертаються. Цю величину називають моментом інерції тіла відносно осі обертання.
§ 20. Математичний і пружинний маятники. Період коливань маятників
З попередніх класів ви знаєте, що математичним маятником вважають точкове тіло, підвішене на нерозтяжній і невагомій нитці. Математичний маятник — це поняття абстрактне, тому що розміри кульки набагато менші за довжину нитки, цими розмірами можна нехтувати і розглядати кульку як матеріальну точку. Розтягом нитки також можна нехтувати, оскільки він дуже малий. Можна нехтувати і масою нитки порівняно з масою кульки.
Отже, з певним наближенням математичним маятником можна вважати кульку, підвішену на нитці (мал. 2.7). Рівняння руху математичного маятника має вигляд
Цю формулу для визначення періоду коливань математичного маятника вивів і перевірив на дослідах голландський фізик Крістіан Гюйгенс (1629-1695), тому її часто називають формулою Гюйгенса.
Період коливань математичного маятника залежить лише від прискорення вільного падіння в даному місці Землі і від довжини маятника. Період не залежить від амплітуди коливань і від маси підвішеного тягарця. Це легко перевірити на дослідах з різними маятниками. Слід лише пам’ятати, що розміри тягарця мають бути малими порівняно з довжиною підвісу і що малим має бути також кут відхилення маятника від вертикалі. З формули Гюйгенса можна легко експериментально визначити прискорення вільного падіння. Для цього треба виміряти довжину маятника і період його коливань.
Залежність періоду коливань математичного маятника від прискорення вільного падіння використовується для точних вимірювань прискорення вільного падіння на поверхні Землі. Річ у тому, що прискорення вільного падіння у різних точках земної поверхні на одній географічній широті є неоднаковим і залежить, хоча й незначно, від густини порід, з яких складаються верхні шари земної кори.
ЗАПИТАННЯ ДО ВИВЧЕНОГО
- 1. Яку коливальну систему називають математичним маятником?
- 2. Від чого залежить період коливань математичного маятника?
- 3. Як і чому зміниться період коливання залізної кульки, підвішеної на нитці, якщо під нею помістити магніт?
- 4. Яку коливальну систему називають пружинним маятником?
§ 20. Математичний і пружинний маятники. Енергія коливань
Коливальні рухи дуже різноманітні. Однак існує «класика» коливальних рухів — вони описані сотні років тому, їх вивченням займалися Ґалілео Ґалілей (1564-1642) і Крістіан Гюйґенс (1629-1695). Це — коливання пружинного та математичного маятників. Саме з коливаннями таких маятників ви ознайомитесь у цьому параграфі.
1. Коливання пружинного маятника
Пружинний маятник — це коливальна система, яка являє собою тіло, закріплене на пружині.
Розглянемо коливання горизонтального пружинного маятника — візка масою m, прикріпленого до вертикальної стіни пружиною жорсткістю k. Будемо вважати, що сили тертя, які діють у системі, нехтовно малі, тоді коливання маятника будуть незатухаючими (їх амплітуда з часом не змінюватиметься, а повна механічна енергія системи зберігатиметься). При цьому потенціальна енергія деформованої пружини буде перетворюватися на кінетичну енергію руху візка, і навпаки.
Коливання пружинного маятника
Зверніть увагу! Протягом усього часу коливання сила пружності напрямлена в бік, протилежний зміщенню візка, — весь час сила пружності «штовхає» візок до положення рівноваги.
Отже, вільні коливання пружинного маятника мають такі причини:
1) сила, що діє на тіло, завжди напрямлена до положення рівноваги;
2) тіло, що коливається, є інертним, тому воно не зупиняється в положенні рівноваги (коли рівнодійна сил стає рівною нулю), а продовжує рух у тому самому напрямку.
2. Як визначити період коливань пружинного маятника
Зверніть увагу! Період коливань пружинного маятника не залежить ані від амплітуди коливань, ані від того, де відбуваються ці коливання (на поверхні Землі, у космічному кораблі чи на поверхні Місяця), — він визначається тільки власними характеристиками коливальної системи «тіло — пружина». Якщо період Т коливань тіла та жорсткість k пружини відомі, можна знайти масу m тіла. Такий спосіб визначення маси використовують у стані невагомості, коли звичайні ваги не працюють.
3. Що називають математичним маятником
Будь-яке тверде тіло, яке здійснює або може здійснювати коливання відносно осі, що проходить через точку підвісу, називають фізичним маятником. Прикладом може слугувати іграшка, підвішена на нитці в салоні автомобіля. Якщо іграшку вивести з положення рівноваги, вона почне коливатися. Проте вивчати такі коливання доволі складно: їх характер визначається розмірами та формою іграшки, властивостями нитки та іншими чинниками.
Щоб розміри тіла не впливали на характер його коливань, слід узяти нитку, довжина якої набагато більша за розміри тіла, а маса незначна порівняно з його масою. У такому випадку тіло можна вважати матеріальною точкою. А щоб під час коливань тіло весь час перебувало на однаковій відстані від точки підвісу, нитка має бути нерозтяжною. У такий спосіб буде створено фізичну модель — математичний маятник.
Математичний маятник — це фізична модель коливальної системи, яка складається з матеріальної точки, підвішеної на невагомій і нерозтяжній нитці, та гравітаційного поля.
4. Коливання математичного маятника
Візьмемо невелику, але досить важку кульку та підвісимо її на довгій нерозтяжній нитці — такий маятник можна вважати математичним. Якщо відхилити кульку від положення рівноваги та відпустити, то внаслідок дії гравітаційного поля Землі (сили тяжіння) та сили натягу нитки кулька почне коливатися біля положення рівноваги. Оскільки опір повітря нехтовно малий, а сили, що діють у системі, є консервативними, повна механічна енергія кульки буде зберігатися. При цьому потенціальна енергія піднятої кульки буде перетворюватися на її кінетичну енергію, і навпаки.
Рис. 20.2. Коливання математичного маятника є вільними, оскільки відбуваються під дією внутрішніх сил системи. Причини, завдяки яким математичний маятник здійснює вільні коливання, ті самі, що й у випадку коливань пружинного маятника: 1) рівнодійна сил, прикладених до тіла, завжди напрямлена до положення рівноваги; 2) тіло, що коливається, є інертним
• Розгляньте коливальний рух кульки (рис. 20.2), поясніть причини її руху та з’ясуйте, які перетворення енергії відбуваються.
5. Як обчислити період коливань математичного маятника
Можна довести, що математичний маятник, відхилений від положення рівноваги на невеликий кут (3-5°), здійснюватиме гармонічні коливання, тобто прискорення його руху весь час буде прямо пропорційне зміщенню та напрямлене в бік, протилежний зміщенню: ах = -ω 2 x.
де l — довжина маятника; g — прискорення вільного падіння.
Цю формулу вперше одержав у XVII ст. голландський учений Крістіан Гюйґенс, тому її називають формулою Гюйґенса.
Період коливань математичного маятника не залежить від маси маятника, а визначається лише довжиною нитки та прискоренням вільного падіння в тому місці, де розташований цей маятник. Тому, вимірявши довжину нитки та період коливань маятника, можна визначити прискорення вільного падіння в даній місцевості (див. лабораторну работу № 5).
6. Учимося розв’язувати задачі
Підбиваємо підсумки
• У ході вільних коливань маятника його потенціальна та кінетична енергії безперервно змінюються. Потенціальна енергія є максимальною в точках повороту й дорівнює нулю в момент проходження маятником положення рівноваги. Кінетична енергія в точках повороту дорівнює нулю й сягає максимального значення в момент проходження маятником положення рівноваги.
Контрольні запитання
1. Опишіть коливання пружинного маятника. Чому тіло не зупиняється, коли проходить положення рівноваги? 2. За якою формулою визначають період коливань пружинного маятника? 3. Дайте означення математичного маятника. 4. Опишіть коливання математичного маятника. За якою формулою визначають період його коливань? 5. Які перетворення енергії відбуваються під час коливань пружинного маятника? математичного маятника? 6. У якому положенні потенціальна енергія маятника сягає максимального значення? мінімального? Що можна сказати про кінетичну енергію маятника в ці моменти?
1. У системі «візок — пружина» відбуваються вільні коливання. Збільшиться чи зменшиться період цих коливань, якщо: 1) збільшити амплітуду коливань? 2) зменшити масу візка? 3) збільшити жорсткість пружини?
2. Чи відбуватимуться коливання математичного маятника в невагомості? Відповідь обґрунтуйте.
3. Як зміниться хід маятникового годинника, якщо його з теплої кімнати винести в холодну комору? підняти з першого поверху хмарочоса на дах?
4. Якою є маса тіла, підвішеного на пружині жорсткістю 40 Н/м, якщо після відхилення тіла від положення рівноваги воно здійснює 8 коливань за 12 с?
5. На яку максимальну висоту відхиляється математичний маятник, якщо в момент проходження положення рівноваги він рухається зі швидкістю 0,2 м/с? Якою є довжина маятника, якщо період його коливань — 2 с?
6. Рівняння коливань пружинного маятника масою 5 кг має вигляд: х = 0,2соs10пt. Визначте: 1) циклічну частоту та період коливань маятника; 2) жорсткість пружини маятника; 3) повну механічну енергію коливань; 4) зміщення, кінетичну та потенціальну енергії маятника через 0,025 с.
7. Спостерігаючи коливання великої люстри в Пізанському кафедральному соборі, яка розгойдувалася через протяг, Ґ. Ґалілей виміряв період її коливань і встановив. Скористайтеся додатковими джерелами інформації та дізнайтеся: 1) що встановив Ґ. Ґалілей; 2) як він вимірював період коливань без годинника; 3) яким є період коливань великої люстри (для цього знайдіть інформацію про довжину підвісу).
Експериментальне завдання
Виготовте маятник, закріпивши на довгій нитці достатньо важке тіло, і виміряйте прискорення вільного падіння у вашому будинку. Переконайтеся, що воно дійсно приблизно дорівнює 9,8 м/с 2 .
