§ 27. Виштовхувальна сила в рідинах і газах. Закон Архімеда

Чому м’яч, який занурили у воду й відпустили, вискакує над поверхнею води? Чому важкий камінь, який на суходолі не можна посунути з місця, легко підняти під водою? Чому корабель, що сів на мілину, не може самотужки зрушити з місця? Спробуємо розібратися!

1. Доводимо існування виштовхувальної сили

Підвісимо до коромисла терезів дві однакові кулі. Маси куль є рівними, отже, терези будуть зрівноважені (рис. 27.1, а). Підставимо під праву кулю порожню посудину (рис. 27.1, б). Наллємо в посудину воду і побачимо, що рівновага терезів порушиться (рис. 27.1, в), — якась сила намагається виштовхнути кулю з води.

Звідки береться ця сила? Щоб розібратися, розглянемо занурений у рідину кубик. На нього з усіх боків діють сили гідростатичного тиску рідини (рис. 27.2).

Рис. 27.1. На кулю у воді діє сила, напрямлена вгору

По вертикалі вгору на кубик, занурений у рідину, діє сила, зумовлена різницею тисків на його нижню і верхню грані, — виштовхувальна сила:

На тіло, розташоване в газі, також діє виштовхувальна сила, але вона значно менша від виштовхувальної сили, що діє на те саме тіло в рідині, адже густина газу набагато менша від густини рідини.

Виштовхувальну силу, яка діє на тіло в рідині або в газі, називають також архімедовою силою (на честь давньогрецького вченого Архімеда (рис. 27.3), який першим звернув увагу на її існування та визначив її значення).

Рис. 27.3. Архімед (бл. 287-212 рр. до н. е.), давньогрецький учений, інженер-винахідник; засновник теоретичної механіки та гідростатики

2. Визначаємо архімедову силу

Визначимо значення архімедової (виштовхувальної) сили для кубика, зануреного в рідину (див. рис. 27.2).

Ми вже показали, що архімедова сила дорівнює різниці сил тисків рідини на нижню і верхню грані кубика:

де F₁ = p_рідgh₁S — сила тискд ріднни на вгрхню грань кубика;

F₂ = p_рідgh₂S — сила тиску рідини на нижню грань кубика.

Знаючи F₂і F₁, знайдемо виштовхувальну силу:

Різниця глибин h₂ – h₁, на яких перебувають нижня і верхня грані кубика, є висотою h кубика, отже, F_арх = p_рідghSh.

Добуток площі S основи кубика на його висоту h — це об’єм V кубика: V = Sh, тож маємо формулу для розрахунку архімедової сили:

Тут p_рідV — це маса рідини в об’ємі кубика, тобто маса рідини, об’єм якої дорівнює об’єму кубика. Оскільки p_рідV = m_рід, то

Архімедова сила дорівнює вазі рідини в об’ємі кубика:

Ми розглянули випадок із кубиком, який був повністю занурений у рідину. Проте отриманий результат справджується для тіла будь-якої форми і у випадках, коли тіло занурене в рідину частково, — для розрахунків лише потрібно брати об’єм зануреної в рідину частини тіла. Крім того, результат справджується й для газів.

А тепер сформулюємо закон Архімеда:

На тіло, занурене в рідину або газ, діє виштовхувальна сила, яка дорівнює вазі рідини або газу в об’ємі зануреної частини тіла:

де F_арх — архімедова сила; p_{рід(газу)}— густина рідини або газу; V_зан — об’єм зануреної частини тіла.

Архімедова сила прикладена до центра зануреної частини тіла і напрямлена вертикально вгору (рис. 27.4).

Рис. 27.4. Точка прикладання та напрямок архімедової сили

3. З’ясовуємо, чи завжди на тіло, занурене в рідину, діє архімедова сила

Підвісимо до динамометра камінець на нитці. Динамометр покаже вагу камінця. Підставимо склянку з водою так, щоб камінець був повністю занурений у воду. Показ динамометра зменшиться. Здається, що камінець «утратив» частину своєї ваги. Але ніякої втрати ваги тіла в рідині не відбувається: вага перерозподіляється між підвісом (ниткою) і опорою (рідиною). Навіть якщо архімедова сила, що діє на тіло, є достатньою, щоб утримати це тіло, і підвіс не буде розтягнутий, то тіло все одно не перебуває в невагомості, адже воно тисне на опору — рідину.

Треба зазначити: коли тіло плаває, його вага розподіляється на воду, що оточує всю поверхню тіла. Тому під час плавання вам здається, що ви втратили вагу. Такі комфортні умови підтримування важкого тіла зумовили те, що внаслідок еволюції наймасивніші істоти на Землі мешкають в океані (рис. 27.5).

Саме архімедова сила допомагає піднімати у воді важкі камені або інші предмети, адже частина сили тяжіння, що діє на ці тіла, зрівноважується не силою наших рук, а виштовхувальною силою.

Рис. 27.5. Найбільша тварина на нашій планеті — кит, маса якого може сягати 150 т, а довжина — 35 м

Однак є випадки, коли вода не допомагає підняти тіло, а навпаки — заважає. Це трапляється, коли тіло лежить на дні й щільно до нього прилягає. Вода не може потрапити під нижню поверхню тіла і допомогти своїм тиском підняти його. Щоб відірвати тіло від дна, слід подолати силу тяжіння, яка діє на тіло, а також силу тиску води на верхню поверхню тіла (рис. 27.6). Слід зауважити, що зазначене явище може призвести й до трагедії: якщо підводний човен опуститься на глинисте дно і витіснить із-під себе воду, самотужки спливти він не зможе.

Рис. 27.6. На тіло, яке щільно прилягає до дна, архімедова сила не діє. Більш того, тіло додатково притискають до дна шар рідини та атмосфера: F_тиску = pS, де p = p_aтм + pgh

4. Учимося розв’язувати задачі

Задача. Суцільний алюмінієвий брусок масою 540 г повністю занурений у воду і не торкається дна та стінок посудини. Визначте архімедову силу, що діє на брусок.

Аналіз фізичної проблеми. Для обчислення архімедової сили потрібно знати густину води та об’єм бруска. Об’єм бруска визначимо за його масою та густиною. Густини води та алюмінію дізнаємось із таблиць густин (с. 249). Задачу розв’язуватимемо в одиницях CI.

Підбиваємо підсумки

На тіло, що перебуває в рідині або газі, діє виштовхувальна (архімедова) сила. Причина її появи в тому, що гідростатичні тиски рідини або газу, які діють на верхню і нижню поверхні тіла, є різними. Закон Архімеда: на тіло, занурене в рідину або газ, діє виштовхувальна сила, яка напрямлена вертикально вгору та дорівнює вазі рідини або газу в об’ємі зануреної частини тіла: F_арх = pgV_зан.

Контрольні запитання

1. Куди напрямлена сила, яка діє з боку рідини або газу на тіло, що в них занурене? 2. Що є причиною виникнення виштовхувальної сили? 3. Як ще називають виштовхувальну силу? 4. Сформулюйте закон Архімеда. 5. Чи втрачає вагу тіло, занурене в рідину або газ? Чому? 6. У яких випадках на тіло, занурене в рідину, не діє виштовхувальна сила? Чому?

1. Порівняйте виштовхувальні сили, що діють на суцільні кульки в таких випадках:

2. Щоб відірвати підводний човен від глинистого дна, водолази прокопують під ним тунелі. Для чого вони це роблять?

3. Сталева куля об’ємом 400 см 3 занурена в гас. Визначте архімедову силу, що діє на кулю.

4. На кулю, повністю занурену в ртуть, діє архімедова сила 136 Н. Визначте об’єм кулі.

5. Алюмінієвий брусок масою 2,7 кг частково занурений у воду. На брусок діє архімедова сила 2,5 Н. Яка частина бруска занурена у воду?

6. Яким буде показ динамометра, якщо підвішений до нього тягар масою 1,6 кг і об’ємом 1000 см 3 занурити у воду?

7. Якщо підвішений до динамометра брусок занурюють у воду, динамометр показує 34 Н, а якщо брусок занурюють у гас, динамометр показує 38 Н. Визначте масу та густину бруска.

8. Чи діють на штучному супутнику Землі закон Паскаля і закон Архімеда?

9. На сталевому тросі, жорсткість якого становить 3 МН/м, рівномірно піднімають із дна водойми затонулу статую об’ємом 0,5 м 3 . Поки статуя була під водою, видовження троса дорівнювало 3 мм. Визначте масу статуї. Опором води знехтуйте.

10. Одна з легенд, які існували ще за життя Архімеда, розповідає про подію, що передувала відкриттю закону, який із часом був названий законом Архімеда. Скориставшись додатковими джерелами інформації, з’ясуйте, що це за легенда.

Чи можна вважати, що виріб виготовлений із чистого золота, якщо його вага в повітрі дорівнює 20 Н, а у воді — 18,7 Н?

Експериментальне завдання

«Родзинки-танцівниці». Підготуйте обладнання: високу прозору посудину, газовану воду, кілька родзинок. Проведіть такий дослід.

1. Наповніть посудину газованою водою.

2. Киньте родзинки у воду (див. рисунок).

3. Спостерігайте за родзинками та бульбашками на їхній поверхні.

Що відбувається з родзинками? Як змінюються кількість і розміри бульбашок? Які сили діють на родзинки? Чому родзинки рухаються?

§ 35. Виштовхувальна сила. Закон Архімеда

Вам, мабуть, доводилось чути легенди про Архімеда. Серед них існує легенда про те, як Архімед, занурившись у набрану вщент водою ванну, побачив, що з ванни виливається певна кількість води. «Еврика!» – вигукнув Архімед і відкрив закон, який названо його ім’ям.

Дія рідини й газу на занурене в них тіло. Під водою ми можемо легко підняти камінь, який з великим зусиллям піднімаємо в повітрі. Якщо занурити корок під воду й випустити його з руки, то він випливе. Як можна пояснити ці явища?

Ми знаємо, що рідина тисне на дно і стінки посудини, а якщо всередину рідини помістити яке-небудь тверде тіло, то воно також зазнаватиме тиску.

Розглянемо сили, які діють з боку рідини на занурене в неї тіло. Щоб легше було міркувати, виберемо тіло, яке має форму паралелепіпеда з основами, паралельними поверхні рідини (рис. 3.76). Сили, які діють на бічні грані тіла, попарно однакові й зрівноважують одна одну (F₃ = F₄). Під дією цих сил тіло тільки стискається. А сили, що діють на верхню і нижню грані тіла, неоднакові. На верхню грань тисне зверху із силою F₁ стовп рідини висотою h₁. На рівні нижньої грані тіла тиск створює стовп рідини висотою h₂. Цей тиск, як ми знаємо, передається всередині рідини в усі боки. Отже, на нижню грань тіла знизу вгору із силою F₂ тисне стовп рідини висотою h₂. Але h₂ більша від h₁, значить, і модуль сили F₂ більший за модуль сили F₁. Тому тіло виштовхується з рідини із силою F_в, що дорівнює різниці сил F₂ і F₁, тобто: F_в = F₂ – F₁.

Рис. 3.76. Дія рідини на занурене в неї тіло

Визначимо цю виштовхувальну силу. Сили F₂ і F₁, які діють на верхню і нижню грані паралелепіпеда, можна обчислити за їх площами (S₁ і S₂) і тиском рідини на рівнях цих граней (p₁ і p₂): F₁ = p₁S₁ і F₂ = p₂S₂, де p₁ = pgh₁, p₂ = pgh₂.

Оскільки S₁ = S₁ = S – площа основи паралелепіпеда, а різниця рівнів води на нижню і верхню грані дорівнює висоті паралелепіпеда h₂ – h₁ = h, то виштовхувальна сила:

де добуток Sh = V – об’єм паралелепіпеда.

Таким чином, виштовхувальна сила, що діє на занурене у рідину тіло, визначається за формулою: F = pgV, де р – густина рідини, в яку повністю занурене тіло об’ємом V.

Виштовхувальна сила залежить від густини рідини, в яку занурене тіло, і від об’єму тіла. Якщо одне й те саме тіло занурювати у рідини з різними густинами, то чим більша густина рідини, тим більша виштовхувальна сила діє на занурене тіло.

Якщо в одну й ту саму рідину занурювати тіла різного об’єму, то більша виштовхувальна сила діє на тіло більшого об’єму.

Силу, яка виштовхує тіло з рідини або газу, називають ще архімедовою силою на честь давньогрецького вченого Архімеда, який уперше довів існування цієї сили й обчислив її значення.

Закон Архімеда. Кожне тіло має певний об’єм. Якщо це тіло занурюється в рідину, то воно витісняє частину рідини і займає її місце. Об’єм витісненої рідини дорівнює об’єму зануреного тіла. Добуток pv = m – це маса рідини в об’ємі тіла. Тоді виштовхувальна сила F = mg = Р – дорівнює вазі рідини в об’ємі зануреного в неї тіла.

Закон Архімеда. На тіло, занурене в рідину або газ, діє виштовхувальна сила, яка дорівнює вазі рідини або газу в об’ємі зануреної частини цього тіла.

Сила, яка виштовхує тіло з рідини або газу, направлена протилежно силі тяжіння, прикладеній до цього тіла, тому якщо яке-небудь тіло зважити у рідині або газі, то його вага буде менша за вагу у вакуумі (пустоті). Закон Архімеда діє лише в умовах земного тяжіння. У невагомості закон Архімеда не діє.

Щоби визначити вагу тіла, зануреного в рідину, необхідно знайти різницю між його вагою в повітрі (P₀) та силою Архімеда (F_A): Р = P₀ – F_A.

Приклади розв’язування задач

Задача 1. Визначити виштовхувальну силу, яка діє на камінь об’ємом 1,6 м 3 у морській воді.

Відповідь: F_A ≈ 16,5 кН.

Задача 2. Як зменшиться вага металевого бруска об’ємом 100 см 3 після повного занурення його в гас?

Відповідь: у гасі брусок важить на 0,8 Н менше ніж у повітрі.

Головне у цьому параграфі

Виштовхувальна сила, що діє на занурене у рідину тіло, визначається за формулою: F_A = pgV, де р – густина рідини, в яку повністю занурене тіло об’ємом V.

Закон Архімеда: на тіло, занурене в рідину або газ, діє виштовхувальна сила, яка дорівнює вазі рідини або газу в об’ємі цього тіла.

Щоби визначити вагу тіла, зануреного в рідину, необхідно знайти різницю між його вагою в повітрі (P₀) та силою Архімеда (F_A): Р = P₀ – F_A.

Запитання для самоперевірки

• 1. Що є причиною виникнення виштовхувальної сили?
• 2. Від чого залежить виштовхувальна сила?
• 3. Сформулюйте закон Архімеда.

Цікаво знати

Гідростатичне зважування – це метод вимірювання густини рідини або твердого тіла, який ґрунтується на законі Архімеда. Густину твердих тіл визначають методом подвійного зважування тіл: спочатку в повітрі, а потім у рідині, густина якої відома. Якщо визначають густину рідини, то в ній зважують тіло відомої маси та об’єму.

Якщо досліджуване суцільне тверде тіло тоне у воді, то для виконання завдання потрібний лише лабораторний динамометр (або рівноплечні терези) і посудина з водою. Спочатку визначають вагу Р досліджуваного тіла у повітрі Р = mg = pVg, де р – невідома густина досліджуваного тіла, а m і V позначають відповідно його масу і об’єм.

• 1(с). Чому дорівнює архімедова сила, яка діє у воді на тіла об’ємом 125 см 3 , виготовлені зі скла, корка, алюмінію, свинцю?
• 2(д). Яку силу треба прикласти, щоби підняти під водою камінь масою 30 кг, об’єм якого 0,012 м 3 ? Яку силу слід прикласти, щоби підняти цей же камінь у повітрі?
• 3(д). Яку масу води виштовхує плаваючий дерев’яний брусок довжиною 3 м, шириною 30 см і висотою 20 см? (Густина дерева 600 кг/м 3 ).
• 4(в). Визначте об’єм шматка міді, який при зануренні в гас виштовхується із силою 160 Н.