Трикутники 30 60 90 та 45 45 90: формули довжин сторін

Спеціальні трикутники – це прямокутні трикутники, які мають особливі пропорції для своїх сторін. Трикутник 30°-60°-90° має пропорції 1:√3:2. Трикутник 45°-45°-90° має пропорції 1:1:√2. Всі довжини цих сторін можна легко знайти, якщо знати тільки довжину однієї зі сторін.

В даній публікації ми дізнаємося більше деталей про ці особливі трикутники. Ми навчимося виводити їх пропорції та розв’язувати практичні завдання.

Трикутник з кутами 45, 45 і 90 градусів.

Трикутник 45°-45°-90° – це прямокутний трикутник, який має два гострі кути з мірою 45°. Це означає, що ці трикутники також є рівнобедреними і мають сторони з особливими пропорціями.

Пропорції сторін цих трикутників можна отримати за допомогою теореми Піфагора. Оскільки ці трикутники мають два кути з однаковими градусними мірами, то їх протилежні сторони повинні мати однакову довжину. Тому, застосовуючи теорему Піфагора, можна припустити, що дві рівні сторони мають довжину x, тому гіпотенуза дорівнює:

Отже, відношення катетів і гіпотенузи «прямокутного трикутника 45 45 90» виражається таким чином:

Прямокутний трикутник з кутами 30, 60 та 90 градусів.

Трикутник 30°-60°-90° – це прямокутний трикутник, що містить гострі кути 30° і 60°. Сторони цих трикутників мають довжини з особливими пропорціями.

Отримати ці пропорції ми можемо, використовуючи теорему Піфагора. Для цього можна вважати, що трикутник 30°-60°-90° є половиною рівностороннього трикутника, як показано нижче.

Можна вважати, що одна з коротких сторін трикутника 30°-60°-90° має довжину x. Таким чином, основа рівностороннього трикутника буде дорівнювати 2·x, а гіпотенуза трикутника 30°-60°-90° також буде мати довжину 2·x, оскільки рівносторонній трикутник має всі свої сторони однакової довжини.

За допомогою цього можна визначити довжину другого катета трикутника 30°-60°-90°:

Таким чином, довжина гіпотенузи «прямокутного трикутника 30 60 90» вдвічі перевищує довжину найкоротшої його сторони, а довжина іншої сторони в √3 рази перевищує довжину найкоротшої сторони:

Зауваження: якщо позначити довжину сторін AB, BC та AC трикутників ABC буквами c, a і b відповідно, то пропорції довжин сторін перепишуться у більш зручному для використання вигляді:

Приклади задач та практичних запитань на тему «Спеціальні прямокутні трикутники».

Приклад 1: що таке спеціальні прямокутні трикутники?

Спеціальні прямокутні трикутники – це прямокутні трикутники, у яких всі внутрішні кути визначені, а сторони мають фіксоване співвідношення. Два основних типи спеціальних трикутників – це трикутник 30-60-90 та трикутник 45-45-90:

• трикутник 45°, 45°, 90° – кути цього трикутника дорівнюють 45°, 45°, 90°, а відношення сторін виражається як: катет : катет : гіпотенуза = 1:1:√2;
• трикутник 30°, 60°, 90° – кути цього трикутника складають 30°, 60°, 90°, а відношення сторін представлене як: короткий катет : довгий катет : гіпотенуза = 1:√3:2.

Приклад 2: як знайти гіпотенузу прямокутного трикутника 30-60-90?

Щоб знайти гіпотенузу спеціального прямокутного трикутника 30-60-90, ми можемо скористатися формулою або співвідношенням, яке визначено для його сторін.

Ми знаємо, що в такому трикутнику короткий катет : довгий катет : гіпотенуза = x:x·√3:2·x. Тому, якщо ми знаємо сторони, ми можемо легко підставити значення та обчислити довжину гіпотенузи.

Наприклад, якщо короткий катет трикутника 30-60-90 задано як 5 см, тоді ми можемо підставити значення в записане вище співвідношення. В результаті матимемо:

Таким чином, довжина гіпотенузи трикутника 30-60-90 дорівнює 10 см.

Приклад 3: як знайти гіпотенузу прямокутного трикутника 45-45-90?

Щоб знайти гіпотенузу спеціального прямокутного трикутника 45-45-90, ми можемо скористатися формулою або співвідношенням, яке визначено для його сторін.

Ми знаємо, що в такому трикутнику катет : катет : гіпотенуза = x:x:x·√2. Отже, якщо ми знаємо сторони, ми можемо підставити дані значення та обчислити довжину гіпотенузи.

До прикладу, якщо довжину катета трикутника 30-60-90 задано як 8 см, тоді ми можемо підставити значення в співвідношення вище будемо мати:

Таким чином, довжина гіпотенузи трикутника 45-45-90 дорівнює 8·√2 см.

Дивіться також:

Під час вивчення теми спеціальних прямокутних трикутників є кілька інших захопливих тем, які можуть бути корисними для вашого подальшого розуміння. Ось декілька тем, на які варто звернути увагу:

– Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом, який лежить проти однієї з даних сторін: 1) а = 23 см, с = 30 см,Y = 102°; ​

Для розв’язання цього трикутника за допомогою двох сторін і кута, який лежить проти однієї з даних сторін, можна скористатися законом синусів. За цим законом, відомо:

де Y – це відомий кут, a і c – відомі сторони протилежні цьому куту і відомому куту відповідно.

Підставимо відомі значення:

sin(102°) / 23 см = sin(X) / 30 см.

sin(X) = (sin(102°) * 30 см) / 23 см ≈ 0.8793.

Тепер, щоб знайти кут X, візьмемо обернену тригонометричну функцію sin (арксинус) обох сторін:

Отже, ми знайшли кут X, і тепер можемо знайти третій кут трикутника, використовуючи той факт, що сума всіх кутів у трикутнику дорівнює 180°:

Отже, розв’язаний трикутник має кути: Y = 102°, X ≈ 62.82° і Z ≈ 15.18°, та сторони a = 23 см, c = 30 см.