РОЗДІЛ 1 НАЙПРОСТІШІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
Два промені, що мають спільний початок, розбивають площину на дві частини.
Частину площини, обмежену двома променями із спільним початком, називають кутом.
Промені, що обмежують кут, називають сторонами кута, а їх спільний початок — вершиною кута (мал. 30, а). Такий кут називають кутом АОВ або кутом ВОА, або кутом О і записують відповідно: ∠АОВ або ∠BOA, абоАО. Усі точки кута, які не належать його сторонам, утворюють внутрішню область цього кута. Внутрішню область кута на малюнку 30, а зафарбовано. Іноді внутрішню область кута позначають дугою, іноді — ніяк не позначають, а тільки уявляють. На малюнках 30, б і 30, в зображено кути з вершиною О і сторонами ОА і ОВ.
Кут, сторони якого — доповняльні промені, називають розгорнутим кутом (мал. 31).
Щоб вимірювати кути, треба мати одиницю виміру. За таку одиницю приймають кут в 1 градус (скорочено: 1°). У розгорнутому куті він уміщується 180 разів. Уявімо півколо, поділене на 18 рівних дуг (мал. 32). Коли з його центра О через усі точки поділу і кінці півкола провести промені, вони поділять розгорнутий кут на 18 кутів по 10°. Один із таких кутів (∠АОВ) ділимо на 10. Міра кута АОС дорівнює 1°.
Кожний кут має певну міру.
Міра розгорнутого кута дорівнює 180°.
Міру кута позначають так само, як і кут. Наприклад, якщо міра кута ABC дорівнює 60 градусів, пишуть: ∠ABC = 60°. Дуже малі кути вимірюють у мінутах і секундах.
Мінутою називають частину градуса, а секундою — частину мінути.
Кути в зошиті та на класній дошці вимірюють транспортиром (мал. 33), а на місцевості — астролябією (мал. 34, а), теодолітом (мал. 34, б) чи іншими кутомірними приладами.
Два кути називають рівними, якщо їх міри рівні.
Із двох кутів більшим уважають той, міра якого більша.
Кут називають прямим, якщо його міра дорівнює 90°, гострим — якщо він менший від прямого, тупим — якщо він більший за прямий, але менший від розгорнутого (мал. 35).
Прямі кути на малюнках частіше позначають не дугами, а квадратиками (див. мал. 35).
Кути, більші від розгорнутого (див. мал. 30, в), поки що не розглядатимемо.
Промінь, який виходить з вершини кута і лежить у його внутрішній області, називають внутрішнім променем кута. Внутрішній промінь розбиває даний кут на два менші кути. Наприклад, внутрішній промінь ОК кута АОВ розбиває цей кут на кути АОК і КОВ (мал. 37). При цьому ∠ АОК + ∠КОВ = ∠АОВ. Говорять, що кут АОВ дорівнює сумі кутів АОК і КОВ.
Міра кута дорівнює сумі мір кутів, на які даний кут розбивається його внутрішнім променем.
Два виділені вище речення, позначені знаком , називають основними властивостями вимірювання кутів.
За допомогою транспортира можна не тільки вимірювати кути, а й відкладати кути заданої міри від будь-якого променя. Поступовий процес відкладання кута САВ, що дорівнює 40°, від променя АВ показано на малюнку 36.
Основна властивість відкладання кутів
Від будь-якого променя з одного боку від нього можна відкласти кут заданої міри, і тільки один.
Внутрішній промінь, який розбиває кут на два рівні кути, називають бісектрисою цього кута. На малюнку 38 промінь ОС — бісектриса кута АОВ.
Кутом часто називають також фігуру, складену з двох променів, що мають спільний початок. Таким чином, кутом називають і деяку лінію. Але поділити такий кут на два чи більше рівних кутів не можна. То ж коли говорять про додавання, віднімання чи ділення кутів, то кут розглядають разом з його внутрішньою областю.
Хоча далі ми розглядатимемо здебільшого кути менші від розгорнутого, слід пам’ятати, що кути бувають і більші за розгорнутий. Вони мають більше 180°. Таким, наприклад, є кут D чотирикутника ABCD (мал. 39). Існують і спеціальні транспортири, якими вимірюють кути, більші за розгорнутий (мал. 40). Зазвичай у геометрії розглядають кути не більші за 360°. Поняття кута застосовують часто також для характеристики поворотів. Наприклад, велосипедне колесо можна повернути на 100°, можна на 300°. А коли колесо зробило півтора оберти? Уважають, що воно повернулося на 360° і ще на 180°, а разом — на 540°.
Крім градусів, мінут і секунд, є й інші міри кутів. Моряки вимірюють кути у румбах. Румбом називають восьму частину прямого кута. 1 румб = 11,25° (мал. 41). Науковці найчастіше вимірюють кути в радіанах. Що це таке, дізнаєтесь у старших класах.
Запитання і завдання для самоконтролю
1. Яку фігуру називають кутом? Як позначають кути?
а) гострим; б) тупим; в) прямим; г) розгорнутим?
3. Якими приладами і в яких одиницях вимірюють кути?
4. Що таке внутрішня область кута і внутрішній промінь кута?
5. Що таке бісектриса кута?
6. Які кути називають рівними?
7. Сформулюйте основні властивості вимірювання кутів.
1. Знайдіть міру кута АОВ, якщо промені ОС і ОК ділять його на три рівні кути і ∠СОК = 40°.
– Кут СОК — третя частина кута АОВ.
2. Знайдіть міри кутів, утворених стрілками годинника: о 3-й годині; о 5-й годині (мал. 42).
На циферблаті годинника півколо відповідає 6 годинам. Тому одній годині відповідає 1/6 частина розгорнутого кута, тобто 30°. Коли на годиннику 3-тя година, кут між годинною і хвилинною стрілками дорівнює 30° ∙ 3 = 90°. Коли на годиннику 5-та година, кут між його стрілками дорівнює 30° ∙ 5 = 150°.
63. Скільки мінут мають 2°? А півтора градуса?
64. 1) Назвіть усі кути, що є на малюнку 43. Які з них гострі, прямі, тупі?
2) Нехай ∠МОА = 25°, ∠COD = ∠DOB = 30°, ∠АОВ — прямий. Знайдіть ∠МОВ і ∠АОС.
3) Порівняйте кути МОС і AOD, AOD і СОВ.
65. Знайдіть кут між променями, які ділять прямий кут на 3 рівні частини.
66. Промені, проведені з центра кола, ділять його на 4 рівні частини. Знайдіть кут між двома сусідніми променями.
67. Накресліть гострий кут. Позначте буквами його вершину і сторони. Заштрихуйте його внутрішню область.
68. Накресліть тупий кут. Позначте його сторони буквами, а внутрішню область — дугою.
69. Накресліть розгорнутий кут КРТ. Назвіть його вершину і сторони. Позначте внутрішню область кута дугою.
70. Позначте три точки А, В і С, що не лежать на одній прямій. Побудуйте кут ABC. Чи може цей кут бути розгорнутим?
71. Користуючись транспортиром, побудуйте кути, міри яких дорівнюють 50°, 90°, 120°. Проведіть бісектриси побудованих кутів.
72. Побудуйте на око кути, міри яких дорівнюють 30°, 45°, 60°, і проведіть їх бісектриси. Перевірте точність побудови транспортиром.
73. Виразіть у градусах і мінутах міри кутів: 135′; 5000′.
74. Виразіть у мінутах: 6° 15′; 2°; 11,5°.
77. Заповніть таблицю, у якій А — міра даного кута, В — міра кута між його стороною і бісектрисою.
78. Знайдіть міру кута АОВ, якщо ОС — його внутрішній промінь і ∠AOC = 60°, ∠СОВ = 30°.
79. Чи є промінь РМ внутрішнім променем кута КРТ, якщо ∠KPT= 70°, ∠KPM = 80°? А якщо ∠KPM = 20°?
80. На який кут повертається хвилинна стрілка годинника протягом 20 хв; 30 хв?
81. На який кут повертається годинна стрілка годинника протягом 0,5 год; п’яти хвилин?
82. Знайдіть кут МОВ, якщо ∠АОМ = 25° і ∠АОМ : ∠МОВ = 4 : 5.
83. Знайдіть кут АОВ, якщо ∠АОМ = 30°, ∠МОВ = 60° і всі ці кути розташовані в одній площині.
84. Дано кути АОВ і МОВ однієї площини, що містять відповідно 120° і 60°. Знайдіть міру кута АОМ. Розгляньте два випадки.
85. Накресліть кут АОВ і його внутрішні промені ОК і ОМ так, щоб ∠АОВ = 90°, ∠АОК = 40°, ∠МОВ = 30°. Знайдіть ∠КОМ.
86. ОМ — бісектриса кута АОВ, ОК — бісектриса кута АОМ. У скільки разів ∠КОМ менший від ∠АОВ?
87. ОМ — бісектриса прямого кута АОВ. ОК і ОР — бісектриси кутів АОМ і МОВ. Знайдіть міру кута КОР.
88. ∠АОМ = 30°, a ∠BOM — на 20° більший. Знайдіть ∠АOВ. Розгляньте всі можливі випадки.
89. ОМ і ОК — внутрішні промені кута АОВ, ОК — бісектриса кута МОВ, ∠АОВ = 150°, ∠КОВ — на 40° менший від ∠MOB. Знайдіть ∠АОМ і ∠AOK.
90. а) Виріжте з паперу гострий, прямий і тупий кути. Виміряйте їх транспортиром.
б) Перегинаючи аркуші паперу, зробіть моделі кутів, міри яких дорівнюють 180°, 90°, 45°, 30°, 60°.
91. Площа квадрата дорівнює 16 см 2 . Знайдіть його периметр.
92. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його площа дорівнює 40 см 2 , а одна із сторін — 5 см.
93. Чи на одній прямій розташовані точки А, В і С, якщо:
а) АВ = 5 дм, ВС = 7 дм, АС = 10 дм;
б) АВ = 35 см, ВС = 45 см, АС = 1 дм;
в) АВ = дюйма, ВС = дюйма, АС = дюйма?
94. Як знайти площу прямокутного трикутника, сторони якого дорівнюють 3 см, 4 см і 5 см?
95. Перемалюйте в зошит фігуру, зображену на малюнку 44. Розфарбуйте її двома кольорами.
ЗАДАЧІ ЗА ГОТОВИМИ МАЛЮНКАМИ
ЗАДАЧІ ЗА ГОТОВИМИ МАЛЮНКАМИ
K, M, N, P — середини відрізків;
1. С — внутрішня точка відрізка АВ. АС = 6 см, відрізок ВС на 2 см менший від АС. Знайдіть довжину відрізка АВ.
2. ∠АО В = 130°, ОС — його бісектриса. Знайдіть ∠BOС.
З. Точки А, В і С лежать на одній прямій. АВ = 9 см, ВС = 4 см. Знайдіть довжину відрізка АС. Розгляньте два випадки.
4. Промінь ОС ділить ∠АОВ на два кути так, що один із них у 3 рази більший за інший. Знайдіть ∠AOC і ∠ВОС, якщо ∠АОВ = 80°.
1. С — внутрішня точка відрізка АВ. ВС = 4 см, відрізок АС у 2 рази більший за ВС. Знайдіть довжину відрізка АВ.
2. ОС — бісектриса кута АОВ, ∠AOC = 50°. Знайдіть ∠АОВ.
З. Точки М, N і К лежать на одній прямій. MN = 6 см, NK = 10 см. Знайдіть довжину відрізка МК. Розгляньте два випадки.
4. Промінь ОС ділить ∠AОВ на два кути так, що один із них на 20° більший за інший. Знайдіть ∠АОС і ∠ВОС, якщо ∠АОВ = 70°.
1. С — внутрішня точка відрізка АВ. АС = 4 см, відрізок ВС на 3 см більший за АС. Знайдіть довжину відрізка АВ.
2. ∠АОВ = 60°, ОС — його бісектриса. Знайдіть ∠АОС.
З. Точки Е, F і Р лежать на одній прямій. EF = 7 см, FP = 3 см. Знайдіть довжину відрізка ЕР. Розгляньте два випадки.
4. Промінь ОС ділить ∠АОВ на два кути так, що ∠АОС : АВОС = = 2 : 3. Знайдіть ∠АОС і ∠ВОС, якщо ∠АОВ = 100°.
1. С— внутрішня точка відрізка АВ. АС = 9 см, відрізок ВС у 3 рази менший від АС. Знайдіть довжину відрізка АВ.
2. ОС — бісектриса кута АОВ. ∠ВОС = 40°. Знайдіть ∠АОВ.
3. Точки К, Р і Т лежать на одній прямій. КР = 12 см, РТ = 5 см. Знайдіть довжину відрізка КТ. Розгляньте два випадки.
4. Промінь ОС ділить ∠АОВ на два кути так, що один із них на 30° менший від іншого. Знайдіть ∠АОС і ∠ВОС, якщо ∠АОВ = 120°.
1. 1. Прямі а і b перетинаються в точці O. Якій прямій належить точка O?
2. 2. На скільки частин ділять площину дві прямі, що перетинаються?
3. 3. Яка з трьох точок лежить між двома іншими, якщо XY = 3, YZ = 7, XZ = 4?
4. 4. М — середина відрізка АВ, AM = 7 см. Знайдіть довжину відрізка АВ.
5. 5. К — внутрішня точка відрізка АВ, АК = 3 см, АВ = 10 см. Знайдіть довжину відрізка КВ.
6. 6. Знайдіть міру кута, якщо його бісектриса утворює зі стороною кут 20°.
7. 7. ∠АОВ = 110°, ОМ — його внутрішній промінь, ∠BOM = 60°. Знайдіть ∠AОМ.
8. 8. ОМ— внутрішній промінь кута АОВ, ∠AOM = 40°, ∠BOM — на 10° більший. Знайдіть ∠AОВ.
9. 9. Точки А, В і С лежать на одній прямій. АВ = 5 см, ВС = 12 см. Знайдіть АС.
110. ∠AОВ = 50°, ∠ВОС = 20°. Знайдіть ∠AOC.
Запитання і завдання для самоконтролю
3. Наведіть приклади плоских і неплоских фігур.
6. Опишіть поняття площина.
7. Наведіть приклади матеріальних об’єктів, моделями яких є точка, пряма, площина.
8. Що означають записи А ∈ а, А ∉ b?
9. Що означає вислів «точка В лежить між точками А і С»?
10. Сформулюйте основні властивості розміщення точок на прямій.
13. Які промені називають доповняльними?
15. Що таке кінці відрізка?
16. У яких одиницях вимірюють відрізки?
17. Сформулюйте основні властивості вимірювання відрізків.
18. Що таке середина відрізка?
19. Яка нерівність виконується для будь-яких трьох точок?
20. Що таке відстань між двома точками?
21. Яку фігуру називають кутом?
23. Який кут називають гострим?
24. Який кут називають тупим?
25. Який кут називають прямим?
26. Який кут називають розгорнутим?
27. У яких одиницях вимірюють кути?
28. Що таке внутрішня область кута?
29. Що таке внутрішній промінь кута?
30. Сформулюйте основні властивості вимірювання кутів.
31. Що таке бісектриса кута?
32. Які кути називають рівними?
Геометрія — наука про геометричні фігури і їх властивості. Найпростіша геометрична фігура — точка. Кожна інша геометрична фігура складається з точок, тобто є деякою множиною точок. Інші фігури — пряма, площина. Їх зміст розкривають не означеннями, а описуючи їх основні властивості.
Якщо точка А лежить на прямій а, говорять, що пряма а проходить через точку А і записують: А ∈ а. Якщо точка В не належить прямій а, пишуть: В ∉ а.
Фігури, які можна розмістити в одній площині, називають плоскими фігурами. Частину геометрії, у якій досліджують фігури тільки однієї площини, називають планіметрією.
Основні властивості розміщення точок на прямій
• Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що їй не належать.
• Через будь-які дві різні точки можна провести пряму, і тільки одну.
• Із трьох точок прямої одна, і тільки одна, лежить між двома іншими.
Частини прямої — відрізок і промінь. Відрізок АВ — це частина прямої, що містить точки А, В і всі точки, що лежать між ними. Кожному відрізку ставиться у відповідність його довжина. Довжина відрізка — відстань між його кінцями. Відстані і довжини вимірюють метрами, сантиметрами, міліметрами, кілометрами, футами, дюймами та іншими одиничними відрізками. Основні властивості вимірювання відрізків
• Кожний відрізок має певну довжину.
• Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які його розбиває будь-яка внутрішня точка.
Частину площини, обмежену двома променями із спільним початком, називають кутом. Кути бувають гострі, прямі, тупі, розгорнуті і більші за розгорнуті. Міри кутів визначають у градусах, мінутах, секундах, румбах та деяких інших кутових одиницях виміру.
Основні властивості вимірювання кутів
• Кожний кут має певну міру.
• Міра кута дорівнює сумі мір кутів, на які даний кут розбивається його внутрішнім променем.
Основні властивості відкладання відрізків і кутів
• На будь-якому промені від його початку можна відкласти відрізок даної довжини, і тільки один.
• Від будь-якого променя з одного боку від нього можна відкласти кут заданої міри, і тільки один.
Бісектриса кута — внутрішній промінь, який розбиває даний кут на два рівні кути.
ГДЗ Математика 5 клас Мерзляк А Г Вправи 317 – 348 § 12 Види кутів, вимірювання кутів
1. Який кут називають розгорнутим? Кут, сторони якого утворюють пряму, називають розгорнутим.
2. У яких одиницях вимірюють кути? Величину одиниці виміру кута називають градусом (від лат. gradus — ≪крок≫, ≪сходинка≫) і записують 1°.
3. Яка градусна міра розгорнутого кута? 180°.
4. Як називають прилад, що використовують для вимірювання кутів? Транспортир.
5. Які градусні міри мають рівні кути? Рівні кути мають рівні градусні міри.
6. Який із двох нерівних кутів уважають більшим? Із двох нерівних кутів більшим будемо вважати той, градусна міра якого більша.
7. Яку властивість має величина кута? Якщо між сторонами кута ABC провести промінь BD, то градусна міра кута ABC дорівнюватиме
сумі градусних мір кутів ABD и DBC, тобто ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC.
8. Який кут називають прямим? Кут , градусна міра якого дорівнює 90°, називають прямим.
9. Який кут називають гострим? Кут, градусна міра якого менша від 90°, називають гострим.
10. Який кут називають тупим? Кут, градусна міра якого більша за 90°, але менша від 180°, називають тупим.
Розв’язуємо усно
Завдання 1 Назвіть два числа, одне з яких:
1) на 27 більше за друге ( 30 ‒ 3 = 27)
2) на 15 менше від другого ( 45 ‒ 30 = 15 )
3) у 7 разів менше від другого ( 42 : 6 = 7)
4) у 3 рази більше за друге ( 21 : 7 = 3)
Завдання 2 Годинник спішить на 10 хв і зараз показує 10 год 8 хв. Яка година насправді?
10 год 08 хв ‒ 10 хв = 9 год 68 хв ‒ 10 хв = 9 год + (68 хв ‒ 10 хв) =
= 9 год 58 хв ‒ година насправді.
Завдання 3 Годинник відстає на 7 хв і зараз показує 16 год 55 хв. Яка година насправді?
16 год 55 хв + 7 хв = 16 год + 62 хв = 17 год 2 хв ‒ година насправді.
Завдання 4 Для озеленення вулиці завдовжки 3 км на одному її боці посадили дерева на відстані 20 м одне від одного. Скільки дерев було посаджено? Чому дорівнює відстань між першим і п’ятим деревами?
1) 3000 : 20 = 150 (в.) ‒ між деревами на вулиці.
2) 150 + 1 = 151 (д.) ‒ дерев посаджено.
3) 5 ‒ 1 = 4 (в.) ‒ між першим і п’ятим деревами.
4) 20 • 4 = 80 (м.) ‒ між першим і п’ятим деревами.
Відповідь: посаджено 150 дерев, відстань між першим і п’ятим деревами дорівнює 80 м.
Вправа 317° Знайдіть на рисунку 103 гострі, тупі та прямі кути.
Вправа 318° Які з даних кутів гострі, тупі, прямі, розгорнуті: ∠ A = 96°, ∠ B = 84°, ∠ S = 180°, ∠ D = 90°, ∠ R = 162°, ∠ E = 60°, ∠ Q = 100°, ∠ M = 72°?
Гострі кути: ∠ B = 84°, ∠ E = 60°, ∠ M = 72°
Тупі кути: ∠ A = 96°, ∠ R = 162°, ∠ Q = 100°
Вправа 319 ° Градусна міра кута між бісектрисою даного кута та його стороною?
Вправа 320 ° Знайдіть градусну міру кута, бісектриса якого утворює з однією з його сторін кут, що дорівнює:
Вправа 321 ° Визначте за рисунком 104 градусну міру кута:
Вправа 322° Знайдіть, користуючись транспортиром, градусну міру кутів, зображених на рисунку 105. Визначте вид кожного кута.
Вправа 323° Знайдіть, користуючись транспортиром, градусну міру кутів, зображених на рисунку 106. Визначте вид кожного кута.
∠ BCQ = 110° (тупий кут) ; ∠ EFM = 40° (гострий кут) ; ∠ PRT = 130° (тупий кут) ; ∠ AKS = 70° (гострий кут)
Вправа 324° Накресліть: 1) гострий кут EFC; 2) прямий кут ORT; 3) тупий кут D; 4) розгорнутий кут КАР.
Вправа 325° Накресліть кут, градусна міра якого дорівнює:
1) 38°; 2) 124°; 3) 92°; 4) 90°; 5) 87°; 6) 54°; 7) 170°. Визначте вид кожного кута.
Тупі кути 2) 124°, 3) 92°, 6) 170°.
Вправа 326 Проведіть промінь. Відкладіть від цього променя кут, градусна міра якого дорівнює: 1) 40°; 2) 130°; 3) 68°; 4) 164°. Визначте вид кожного з побудованих кутів.
Гострі кути 1) 40°; 3) 68°. Тупі кути 2) 130°; 4) 164°.
Вправа 327° (Домашня практична робота) Візьміть аркуш паперу формату А4. Згинаючи цей аркуш, побудуйте бісектриси його кутів. Не користуючись транспортиром, визначте градусні міри кутів, які утворилися. Оскільки аркуш А4 є прямокутником, то відповідно усі його кути дорівнюють 90 °. Бісектриса ділить будь-який кут навпіл, тому утворені кути матимуть 45 ° ( 90 ° : 2 = 45 °) .
Відомо: ∠ CMK = 132°, ∠ АМК=180 ° . Знайти: ∠ AMC -?
∠ АМС = ∠ АМК ‒ ∠ СМК = 180° ‒ 132° = 48°
Відомо: ∠ AOK = 90°, ∠ COP = 54°, ∠ COK = 180°
∠ АОР = ∠ СОК ‒ ∠ АОК ‒ ∠ СОР = 180° ‒ 90° ‒ 54° = 36°
Вправа 330° Який із кутів, зображених на рисунку 109, найбільший? найменший?
Найбільший ∠ С, найменший ∠ D.
Вправа 331 Накресліть кут CDE, який дорівнює 152°. Променем DA розділіть його на два кути так, щоб
Відомо: ∠ СDE = 152°, ∠ CDA = 98°
∠ АDЕ = ∠ СDЕ ‒ ∠ СDА = 152° ‒ 98° = 54°
Вправа 332 Накресліть кут ABC, який дорівнює 106°. Променем BD розділіть цей кут на два кути так, щоб
Відомо: ∠ ABC = 106°, ∠ ABD = 34°
∠ DВС = ∠ АВС ‒ ∠ АВD = 106° ‒ 34° = 72°
Вправа 333 3 вершини прямого кута ВОМ (рис. 110) проведено промені ОА і ОС так, що
Відомо: ∠ BOM = 90°, ∠ BOC = 74°, ∠ AOM = 62°
∠ СОМ = ∠ ВОМ ‒ ∠ ВОС = 90° ‒ 74° = 16°
∠ АОС = ∠ АОМ ‒ ∠ СОМ = 62° ‒ 16° = 46°
Вправа 334 З вершини розгорнутого кута АСР (рис. 111) проведено промені СТ і CF так, що
Відомо: ∠ ACP = 180°, ∠ ACF = 158°, ∠ TCP = 134°
∠ FCP = ∠ ACP ‒ ∠ ACF = 180° ‒ 158° = 22°
∠ TCF = ∠ TCP ‒ ∠ FCP = 134° ‒ 22° = 112°
Вправа 335* Чи правильне твердження:
1) будь‒який кут, менший від тупого, — гострий (ні, прямий кут теж менший від тупого кута );
2) кут, менший від розгорнутого, — тупий (ні, гострий і прямий кути теж менші від розгорнутого кута ) ;
3) бісектриса тупого кута ділить його на два гострих кути (так , тупий кут менший від 180 °, тому бісектриса ділить його на два рівні кути, кожен з яких є меншим від 90 ° ) ;
4) сума градусних мір двох гострих кутів більша за 90° (ні , наприклад, 10 ° + 20 ° < 90 ° ) ;
5) кут, більший за прямий, — тупий (ні, розгорнутий кут більший за прямий ) .
Вправа 336 Знайдіть градусну міру кута між стрілками годинника,
Вправа 337 Проведіть три прямі, що перетинаються в одній точці. Запишіть усі розгорнуті кути, які утворилися при цьому.
Розгорнуті кути: ∠ AOB, ∠ FOE, ∠ COD
Вправа 338 Накресліть кут ABC, градусна міра якого становить 120°. Проведіть промінь BD так, щоб градусна міра кута ABD дорівнювала 40°. Обчисліть градусну міру кута DBC.
Відомо: ∠ AВC = 120°, ∠ ABD = 40°
∠ DBC = ∠ ABC‒ ∠ АВD = 120° ‒ 40° = 80°
∠ DBC = ∠ ABD + ∠ АBC = 40° + 120° = 160°
Скільки розв’язків має задача? Два розв’язки.
Вправа 339 Промінь ВК є бісектрисою кута CBD,
Відомо: ∠ AВК = 146°, ∠ СВК = ∠ КВD
∠ СВК = ∠ АВС ‒ ∠ АВК = 180° ‒ 146° = 34°
Вправа 340* Промінь ОА є бісектрисою кута СОМ,
Відомо: ∠ COM = 54°, ∠ COA = ∠ AOM
∠ ВОМ = ∠ ВОС ‒ ∠ СОМ = 180° ‒ 54° = 126°
∠ АОВ = ∠ АОМ + ∠ ВОМ = 27° + 126° = 153°
Як, використовуючи шаблон кута, градусна міра якого дорівнює 13°, побудувати кут, градусна міра якого дорівнює 2°?
1) 13° • 14 – 180° = 182° – 180° = 2°
Провести лінію, зліва направо відкласти 14 разів даний кут. Кут під лінією буде шуканим.
Як побудувати кут, градусна міра якого 1°, використовуючи шаблон кута, градусна міра якого дорівнює: 19°?
Провести лінію, справа наліво відкласти 19 разів даний кут. Кут над лінією буде шуканим.
Як побудувати кут, градусна міра якого 1°, використовуючи шаблон кута, градусна міра якого дорівнює 7°?
Провести лінію та перпендикуляр до неї, справа наліво відкласти 13 разів даний кут. Кут за перпендикуляром буде шуканим.
Вправи для повторення
Завдання 343 Заповніть ланцюжок обчислень:
1) 4 см • 300 = 1200 см = 120 дм
108 дм : 9 = (90 дм + 18 дм) : 9 = 10 дм + 2 дм = 12 дм
12 дм + 3 м = 12 дм + 30 дм = 42 дм
2) 8 хв • 15 = (10 + 5) • 8 хв = 80 хв + 40 хв = 120 хв = 2 год
4 год : 6 = (4 • 60 хв) : 6 = 240 хв : 6 = 40 хв
40 хв ‒ 54 с = 39 хв + 1 хв ‒ 54 с = 39 хв + 60 с ‒ 54 с = 39 хв 6 с
Вправа 344 У чотирьох стаканах вміщується стільки ж молока, як і в банці. У стакані та банці вміщується разом 1 кг 200 г молока. Скільки грамів молока вміщується у стакані?
Якщо в 1 банці уміщується 4 стакани молока, тоді 1200 г молока уміщується в 5 стаканах, тоді
1200 : 5 = 240 (г) ‒ молока в 1 стакані.
Відповідь: у стакані вміщується 240 г молока.
Учимося застосовувати математику
Вправа 345 Мати дала Андрійкові 300 грн і доручила купити банани, мандарини й апельсини. Андрійко вирішив купити 3 кг бананів по 42 грн за 1 кг, 2 кг мандаринів по 51 грн і 1 кг апельсинів по 45 грн. Чи вистачить йому на це грошей? У разі позитивної відповіді вкажіть, скільки грошей у нього залишиться.
1) 42 • 3 = 126 (грн) ‒ заплатив за банани.
2) 51 • 2 = 102 (грн) ‒заплатив за мандарини.
3) 126 + 102 + 45 = 273 (грн) ‒ заплатив за покупку.
Відповідь: так, вистачить грошей на покупку; в Андрійка залишиться 27 гривень решта.
Вправа 346 На ХХХІ Олімпійських іграх, що відбулися у 2016 р. у Ріо-де-Жанейро (Бразилія), олімпійська збірна України здобула 11 медалей. Наші спортсмени отримали 7 золотих і срібних медалей, а золотих і бронзових — 9. Скільки медалей кожного виду завоювювала на цій олімпіаді наша зб
1) 11 ‒ 7 = 4 (м.) ‒ бронзових медалей.
2) 9 ‒ 4 = 5 (м.) ‒ золотих медалей.
3) 7 ‒ 5 = 2 (м.) ‒ срібних деталей.
Відповідь: 4 бронзових медалей, 5 золотих медалей, 2 срібних медалей.
Прокат човна коштує 24 грн за першу годину або її частину. Кожна наступна година прокату або її частина коштує 18 грн. Василь узяв човна о 9 год 40 хв, а повернув о 13 год 15 хв того самого дня. Скільки заплатив Василь за прокат човна?
13 год 15 хв ‒ 9 год 40 хв = 1 2 год 75 хв ‒ 9 год 40 хв = 3 год 35 хв – час прокату човна. 3 год 35 хв = 1 год + (2 год + 35 хв)
24 + 18 • 3 = 24 + 54 = 78 (грн)
Відповідь: 78 гривнів заплатив Василь за прокат човна.
Задача від Мудрої Сови.
Вправа 348 Равлик удень піднімається вгору по жердині на З м, а вночі з’їжджає по ній на 2 м вниз. На який день він добереться до вершини жердини, довжина якої дорівнює 20 м?
1) 3 ‒ 2 = 1 (м) ‒ відстань за 1 день.
За 17 днів равлик підніметься на 17 м, на 18 день підніметься ще на 3 м, тоді досягне позначку 20 м.
Відповідь: равлик добереться вершини на 18 день.
6. Розкажіть, як користуватися транспортиром. Щоб виміряти кут, сумістимо його вершину з центром транспортира так, щоб одна із сторін кута пройшла по лінійці, тоді штрих на шкалі, через який пройде друга сторона, укаже градусну міру (величину) цього кута.
13. На які кути ділить розгорнутий кут його бісектриса? Бісектриса розгорнутого кута ділить його на два кути, градусна міра кожного з яких дорівнює 90°
14. У яких випадках говорять, що від даного променя відкладено даний кут? Якщо дано промінь ОА і побудовано кут ВОА, то говорять, що від променя ОА відкладено кут ВОА.
Розв’язуємо усно
Завдання 4 Які з даних рівнянь не мають коренів: 1), 4), 6)
Врава 323. Довжина сухопутного кордону України з Росією, Білоруссю та Молдовою становить 4232 км. Знайдіть довжину кордону України з кожною з цих держав, якщо довжина кордону з Росією і Білоруссю дорівнює 3038 км, а з Росією і Молдовою — 3257 км.
1) 4232 ‒ 3038 = 1194 (км) ‒ довжина кордону з Молдовою.
2) 3257 ‒ 1194 = 2063 (км) ‒ довжина кордону з Росією.
3) 3038 ‒ 2063 = 975 (км) ‒ довжина кордону з Білорусією.
Відповідь: довжина кордону з Білорусією 975 км, Молдовою ‒ 1194 км, Росією ‒ 2063 км.
Вправа 318* Проведіть шість прямих, що перетинаються в одній точці. Чи правильно, що серед кутів, які при цьому утворилися, є кут, градусна міра якого менша від 31°?
180 ° : 6 = 30°
Вправа 322 Чи правильна нерівність (а + 253) • 7 < (9864 ‒ а) : 4 при а = 124?
Якщо а = 124, тоді (а + 253) • 7 = (124 + 253) • 7 = 377 • 7 = 2639
Якщо а = 124, тоді (9864 ‒ а) : 4 = (9864 ‒ 124) : 4 = 9740 : 4 = 2435
Відповідь: нерівність неправильна.
Завдання 324
Прокат човна коштує 16 грн за першу годину або її частину. Кожна наступна година прокату або її частина коштує 12 грн. Василь узяв човна о 9 год 40 хв, а повернув о 13 год 15 хв того самого дня. Скільки заплатив Василь за прокат човна?
13 год 15 хв – 9 год 40 хв = 12 год 75 хв – 9 год 40 хв = 3 год 35 хв – час прокату човна. 3 год 35 хв = 1 год + (2 год + 35 хв)
16 + 12 • 3 = 16 + 36 = 52 (грн) – заплатив Василь за прокат човна.
Відповідь: 52 гривні заплатив Василь за прокат човна.
