§ 16. Імпульс. Закон збереження імпульсу

Імпульс тіла та імпульс сили. Пригадаємо, що нам відомо про імпульс з курсу 9 класу.

Імпульс тіла, або кількість руху

(так називав цю величину Ньютон), — це фізична величина, що характеризує механічний рух і дорівнює добутку маси тіла m на його швидкість

Одиниця імпульсу тіла — кілограм на метр за секунду:

Імпульсом сили називають добуток середнього значення сили F за певний інтервал часу та тривалості цього інтервалу Δt. Позначається:

Одиниця імпульсу сили — ньютон-секунда: 1 Н • с.

Імпульс сили — це складна фізична величина, яка одночасно враховує вплив модуля, напряму і часу дії сили на зміну стану руху тіла.

Якщо сила діє під певним кутом до напрямку руху тіла, то зміна імпульсу визначається проекцією цієї сили на вісь, спрямовану вздовж напрямку руху (мал. 92).

Якщо тіло змінює напрямок руху, то зміну імпульсу визначають за діаграмою імпульсів. Наприклад, м’яч масою m ударяється об стіну зі швидкістю

під кутом α та відлітає від неї зі швидкістю

під кутом β (кути відраховуються від нормалі Х до стіни) (мал. 93, а).

На малюнку 93, б показано діаграму імпульсів, де вектор зміни імпульсу

визначається за правилом паралелограма. Під час удару на стіну діє сила

напрямок якої збігається з напрямком вектора зміни імпульсу

Мал. 93. Удар м’яча об стіну (а), діаграма імпульсів (б)

Системи тіл. Закон збереження імпульсу. У природі всі тіла взаємодіють між собою. Проте взаємодія з деякими тілами настільки незначна, що її можна не враховувати. Для цього у фізиці використовують поняття ізольованої, або замкненої, системи тіл.

Замкнена (ізольована) система — це система тіл, які взаємодіють лише між собою й не взаємодіють з тілами, що не входять до цієї системи.

— це векторна сума імпульсів тіл системи:

— імпульс системи тіл дорівнює добутку маси системи тіл m_с на швидкість руху центра мас системи

Сили, з якими взаємодіють тіла, що входять до замкненої системи, називають внутрішніми. Тож можна стверджувати, що на замкнену систему не діють зовнішні сили.

Нехай замкнена система містить два тіла масами m₁ і m₂, які в початковий момент часу у вибраній інерціальній системі відліку мали швидкості

Через деякий час їх швидкості внаслідок взаємодії змінилися до

За третім законом Ньютона тіла взаємодіють із силами, однаковими за модулем і протилежними за напрямком,

Виразимо ці сили за другим законом Ньютона, записавши його через імпульси:

Якщо записати імпульси тіл до взаємодії по один бік від знаку рівності, а після взаємодії — по інший, то отримаємо вираз:

який називається законом збереження імпульсу.

Геометрична сума імпульсів тіл, які утворюють замкнену систему, залишається сталою під час будь-яких рухів і взаємодій тіл системи.

Виконання закону збереження імпульсу ми показали на прикладі системи, що складається з двох взаємодіючих тіл. Закон виконується і для ізольованої системи з довільною кількістю тіл.

Зазначимо, що закон збереження імпульсу можна застосовувати і для неізольованих систем за умови, що сума імпульсів зовнішніх сил дорівнює нулю.

Ми отримали закон збереження імпульсу, виходячи із законів Ньютона, але потрібно наголосити, що закон збереження імпульсу не є наслідком законів Ньютона. Це — самостійний фундаментальний закон природи, а це означає, що він виконується для тіл макро- та мікросвіту. Згідно із цим законом, щоб не відбулось у замкненій системі (співудари, вибухи, хімічні реакції тощо), імпульс системи тіл залишається незмінним. Це дає змогу аналізувати рух тіл системи навіть у тих випадках, коли внутрішні сили невідомі.

Одним із прикладів прояву закону збереження імпульсу є удар. Під ударом розуміють таку взаємодію тіл, яка здійснюється миттєво. Як правило, під час удару взаємодія відбувається через сили пружності, які виникають у тілах унаслідок їх деформації під час стискання. Якщо після удару розміри й форма взаємодіючих тіл повністю відновлюється, то такий удар називають абсолютно пружним.

У природі спостерігаються також взаємодії, які називають непружними. У разі абсолютно непружного удару утворюється нове тіло, маса якого дорівнює сумі мас тіл, що взаємодіяли.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

• 1. Що таке імпульс тіла та імпульс сили? Який між ними зв’язок?
• 2. Як залежить зміна імпульсу тіла від значення сили й часу її дії?
• 3. Як розрахувати зміну імпульсу тіла, якщо сила діє під кутом до його переміщення? Як розрахувати зміну імпульсу тіла, якщо воно змінює напрямок руху?
• 4. Яку систему тіл називають замкненою?
• 5. Сформулюйте закон збереження імпульсу.

Приклади розв’язування задач

Задача 1. Молекула масою 4,65 • 10 -26 кг пружно вдаряється об стінку посудини й відбивається від неї без втрати швидкості. Визначте імпульс сили, отриманий стінкою, якщо молекула летить і відбивається: а) перпендикулярно; б) під кутом 30° до стінки.

Мал. 94. Пружний удар молекули об стінку з початковою швидкістю: а — перпендикулярною до стінки; б — під кутом α до нормалі Х

Задача 2. Людина масою 70 кг стоїть на кормі човна, що міститься на озері. Довжина човна дорівнює 5 м, а його маса — 280 кг. Людина переходить на ніс човна. На яку відстань відносно дна озера переміститься людина? Опором води знехтуйте.

1. Рух матеріальної точки описується рівнянням x = 5 – 8t + 4t 2 . Вважаючи, що маса точки дорівнює 2 кг, визначте імпульс через 2 с і через 4 с після початку відліку часу.

2. М’яч масою 100 г, що летів зі швидкістю 20 м/с, ударився об горизонтальну площину. Кут падіння (кут між напрямком швидкості й перпендикуляром до площини) дорівнює 60°. Визначте зміну імпульсу, якщо удар абсолютно пружний, а кут відбивання дорівнює кутові падіння.

3. Два непружні тіла масою 2 і 6 кг рухаються назустріч одне одному зі швидкістю 2 м/с кожне. З якою швидкістю і в який бік рухатимуться ці тіла після удару?

4. На вагонетку масою 800 кг, яка котиться по горизонтальній колії зі швидкістю 0,2 м/с, насипали зверху 200 кг щебеню. На скільки при цьому зменшилася швидкість вагонетки?

5. Із човна масою 200 кг, який рухається зі швидкістю 1 м/с, стрибає дитина, що має масу 50 кг, у горизонтальному напрямку зі швидкістю 7 м/с. Яка швидкість човна після стрибка дитини, якщо вона стрибає: а) з корми в бік, протилежний рухові човна; б) з носа човна в напрямку його руху?

6. Кулька масою 20 г падає на горизонтальну поверхню з висоти 2,5 м і потім підстрибує на висоту 60 см. Яка за величиною зміна вектора імпульсу кульки під час удару?

7. М’яч рухається зі швидкістю υ назустріч стінці, яка сама рухається зі швидкістю u. Якою буде швидкість м’яча після пружного удару?

8. Снаряд, що вилетів з гармати, розірвався у верхній точці траєкторії на висоті 1960 м на два однакових уламки. Швидкість снаряда перед вибухом — 100 м/с. Один з уламків полетів горизонтально у зворотному напрямку з більшою у два рази швидкістю. На якій відстані будуть уламки один від одного в момент падіння на землю?

9. Два човни рухаються за інерцією у стоячій воді назустріч один одному з однаковими швидкостями — 0,6 м/с. Коли човни порівнялись, то з першого на другий переклали вантаж масою 60 кг. Після цього другий човен продовжував рухатись у тому самому напрямку, але зі швидкістю 0,4 м/с. Визначте масу другого човна. Опором води знехтуйте.

§ 34. Рух тіла під дією сили тяжіння

Траєкторія руху м’яча, кинутого вертикально вгору або вниз, — пряма. Розбігшись, людина стрибає у воду — траєкторією руху людини буде вітка параболи. Ядро, випущене під кутом до горизонту, теж опише частину параболи. Рухи всіх цих тіл відбуваються тільки під дією сили тяжіння, тобто маємо справу з вільним падінням. Чому ж ці рухи так відрізняються? Причина — в різних початкових умовах (рис. 34.1).

Рис. 34.1. Траєкторія руху тіла під дією сили тяжіння залежить від напрямку швидкості руху тіла: тіло, кинуте вертикально, рухається прямолінійною траєкторією (а); траєкторія руху тіла, кинутого горизонтально (б) або під кутом до горизонту (в), — парабола

1. Здійснюємо ряд спрощень

Характер реального руху тіла в полі тяжіння Землі є досить складним, і його описування виходить за межі шкільної програми. Тому приймемо низку спрощень:

1) систему відліку, пов’язану з точкою на поверхні Землі, вважатимемо інерціальною;

2) розглядатимемо переміщення тіл поблизу поверхні Землі, тобто на невеликій (порівняно з її радіусом) відстані. Тоді кривизною поверхні Землі та зміною прискорення вільного падіння можна знехтувати; інакше кажучи, Землю будемо вважати «пласкою», а прискорення вільного падіння — незмінним:

3) опором повітря будемо нехтувати.

Зверніть увагу: якщо прийняти тільки перші два спрощення, отриманий результат буде дуже близьким до реального; останнє ж спрощення не дає серйозної похибки тільки у випадках, коли тіла важкі, невеликі за розмірами, а швидкість їхнього руху досить мала. Саме такі тіла ми розглядатимемо далі.

2. Вивчаємо рух тіла, кинутого вертикально

Спостерігаючи за рухом невеликих важких тіл, які кинуті вертикально вниз, вертикально вгору або падають без початкової швидкості, бачимо, що траєкторія руху таких тіл — відрізки прямої (див. рис. 34.1, а). До того ж ми знаємо, що ці тіла рухаються з незмінним прискоренням.

Щоб математично описати рух тіла, кинутого вертикально вгору або вниз (вільне падіння тіла), скористаємося формулами залежності швидкості, переміщення та координати від часу для рівноприскореного прямолінійного руху.

Підійдемо до запису формул, які описують вільне падіння, «технічно».

1. Описуючи рух тіла по вертикалі, вектори швидкості, прискорення та переміщення традиційно проектують на вісь ΟΥ, тому в рівняннях руху замінимо х на у.

2. Переміщення тіла по вертикалі зазвичай позначають символом h (висота), тому замінимо s на h.

3. Для всіх тіл, які рухаються тільки під дією сили тяжіння, прискорення дорівнює прискоренню вільного падіння, тому замінимо а на g.

З огляду на зазначені заміни отримаємо рівняння, якими описують рух тіла, що вільно падає:

Задача 1. Повітряна куля рівномірно піднімається зі швидкістю 2 м/с. На висоті 7 м від поверхні землі з неї впало невелике важке тіло. Через який інтервал часу це тіло впаде на землю? Якою буде швидкість руху тіла в момент падіння? Падіння тіла вважайте вільним.

Аналіз фізичної проблеми. Виконаємо пояснювальний рисунок. Спрямуємо вісь OY вертикально вниз. Початок координат нехай збігається з положенням тіла в момент початку падіння.

Тіло впало з кулі, що рівномірно піднімалася, тому в момент початку падіння швидкість руху тіла дорівнювала швидкості руху кулі й була напрямлена вертикально вгору.

Задача 2. Із точок А і В, розташованих на одній вертикалі на відстані 105 м одна від одної (див. рисунок), кидають два тіла з однаковою швидкістю 10 м/с. Тіло 1 кидають із точки А вертикально вниз, а через 1 с із точки В кидають вертикально вгору тіло 2. На якій відстані від точки А тіла зустрінуться?

Домовимося, що початок координат збігається з положенням тіла 2 (y₀₂ = 0), тоді початкова координата тіла 1 — 105 м (у₀₁ = 105 м). Час руху тіла 2 на 1 секунду менший від часу руху тіла 1, тобто t₂ = t₁ – 1 с.

• Доведіть, що після розкриття дужок і зведення подібних доданків отримаємо рівняння 30t₁ = 120.

Отже, t₁ = 4 с — час зустрічі. Через 4 с тіло 1 опиниться в точці з координатою у₁ = 105 – 10 • 4 – 5 • 4 2 = -15 (м).

Таким чином, тіла зустрінуться на відстані h = 105 + 15 = 120 (м) від точки А (див. рисунок).

3. Розглядаємо рух тіла, кинутого горизонтально

Якщо за допомогою гумової трубки з наконечником створити струмінь води і спрямувати його горизонтально, побачимо, що траєкторія руху частинок води — парабола (рис. 34.2). Параболою буде й траєкторія руху м’ячика для пінг-понгу, якщо йому надати горизонтальної швидкості, й траєкторія кинутого горизонтально камінця тощо.

Рис. 34.2. Горизонтально спрямований струмінь води має форму параболи, вигляд якої залежить від початкової швидкості руху частинок води

Розглянемо рух тіла, кинутого горизонтально, як результат додавання двох рухів (рис. 34.3):

• 1) рівномірного — уздовж осі ОХ, оскільки на тіло вздовж цієї осі не діє жодна сила (проекція сили тяжіння на вісь ОХ дорівнює нулю);

Уздовж осі ОХ тіло рухається рівномірно, тому швидкість v_x руху тіла є незмінною і дорівнює початковій швидкості v₀, а дальність l польоту тіла за час t дорівнює добутку початкової швидкості v₀ і часу t руху тіла:

Уздовж осі ΟΥ тіло вільно падає, тому швидкість його руху та висоту падіння визначимо за формулами:

Рис. 34.4. До визначення модуля швидкості руху тіла

Задача 3. Із прямовисної скелі заввишки 20 м у море горизонтально кинули камінь. Із якою швидкістю кинули камінь, якщо він упав у воду на відстані 16 м від скелі? Яка швидкість руху каменя в момент падіння в море? Опором повітря знехтуйте.

Контрольні запитання

1. Які спрощення ми приймаємо, розв’язуючи задачі на рух тіл під дією сили тяжіння? 2. Запишіть рівняння руху тіла під дією сили тяжіння в загальному вигляді. 3. Якою є траєкторія руху тіла, кинутого вертикально? горизонтально? 4. Як для тіла, кинутого горизонтально, визначити дальність польоту? висоту падіння? модуль швидкості руху тіла в будь-якій точці траєкторії?

Виконуючи завдання, вважайте, що опір повітря відсутній.

1. Одне тіло кинули вертикально вгору, друге — вертикально вниз, третє відпустили. Яке тіло рухається з найбільшим прискоренням?

2. Тіло рухається тільки під дією сили тяжіння. Систему координат обрано так, що вісь ОХ напрямлена горизонтально, вісь ΟΥ — вертикально вгору. Опишіть, виконавши відповідний рисунок, характер руху тіла, якщо: a) v_0x > 0, v_0y = 0; б) v_0х = 0, v_0y > 0; в) ν_0x = 0, v_0y < 0.

3. М’яч кинули з поверхні землі вертикально вгору з початковою швидкістю 20 м/с. Визначте: а) швидкість руху та переміщення м’яча через 3 с після початку руху; б) час підйому та максимальну висоту підйому м’яча.

4. Із даху будинку на висоті 45 м випущено горизонтально стрілу з початковою швидкістю 20 м/с. Через який інтервал часу стріла впаде на землю? Якими будуть дальність польоту та переміщення стріли?

5. Дві кульки розміщено на одній вертикалі на відстані 10 м одна від одної. Одночасно верхню кульку кидають вертикально вниз із початковою швидкістю 25 м/с, а нижню просто відпускають. Через який час кульки зіткнуться?

6. На рисунку зазначено положення кульки через кожну 0,1 с руху. Визначте прискорення вільного падіння кульки, якщо сторона кожного квадрата сітки — 5 см.

7. Від бурульки на даху відірвалася краплина. Який шлях подолає краплина за четверту секунду після моменту відриву?

8. Скориставшись даними задачі 2, розглянутої в пункті 2 § 34, визначте шлях, який подолало кожне тіло до зустрічі.

9. Установіть відповідність між силою і формулою для її визначення.

• 1 Сила тяжіння
• 2 Сила Архімеда
• 3 Сила тертя
• 4 Сила пружності
• A F = mg
• Б F = kx
• В F = μN
• Г F = pS
• Д F = ρgV

Експериментальне завдання

Покладіть на край столу невелике важке тіло та штовхніть його. Спробуйте визначити швидкість, надану тілу, скориставшись лише лінійкою. Запишіть, як ви це зробили.

Фізика і техніка в Україні

Абрам Федорович Йоффе (1880-1960) — видатний український радянський фізик, академік, науковий організатор, що увійшов в історію як «батько радянської фізики», «тато Йоффе».

Основні наукові досягнення А. Ф. Йоффе пов’язані з вивченням електричних, фотоелектричних і механічних властивостей кристалів. Він першим висунув гіпотезу про те, що напівпровідники можуть забезпечити ефективне перетворення енергії випромінювання на електричну енергію (за цим принципом сьогодні розвивається сонячна енергетика). Паралельно з Р. Міллікеном учений вперше визначив заряд електрона. Ініціював створення фізико-технічних інститутів, зокрема в Харкові та Дніпрі, створив всесвітньо відому наукову школу.

Під керівництвом А. Ф. Йоффе працювали майбутні Нобелівські лауреати П. Л. Капиця, Μ. М. Семенов, Л. Д. Ландау, І. Є. Тамм, а також видатні вчені, які зробили значний внесок у світову науку: А. І. Аліханов, Л. А. Арцимович, Μ. П. Бронштейн, Я. Б. Зельдович, І. К. Кікоін, Б. П. Константинов, І. В. Курчатов, Ю. Б. Харитон і багато інших.

У 1960 р. ім’я А. Ф. Йоффе присвоєно Фізико-технічному інституту в Ленінграді (зараз Санкт-Петербург), на честь ученого також названо кратер на Місяці, малу планету Сонячної системи 5222, вулицю в Берліні (Німеччина).