5.27: Внутрішні кути в опуклих багатокутників

Приклад \(\PageIndex<1>\) Внутрішні кути п’ятикутника є \(x^\) , \(x^\) , \(2x^\) , \(2x^\) , і \(2x^\) . Що таке \(x\) ? Рішення З формули суми багатокутника ми знаємо, що п’ятикутник має внутрішні кути, які сумуються \((5−2)\times 180^=540^\) . Напишіть рівняння і вирішіть для x. \(\begin x^+x^+2x^+2x^+2x^&=540^ \\ 8x&=540 \\ x&=67.5\end\)

Приклад \(\PageIndex<2>\) Яка сума внутрішніх кутів в 100-кутнику? Рішення Скористайтеся формулою суми багатокутника. \((100−2)\times 180^=17,640^\) .

Приклад \(\PageIndex<3>\) Внутрішні кути багатокутника складають до \(1980^\) . Скільки у нього сторін? Рішення Скористайтеся формулою суми багатокутника і вирішіть для n\). \(\begin (n−2)\times 180^&=1980^ \\ 180^n−360^&=1980^ \\ 180^n&=2340^ \\ n&=13\end\) Багатокутник має 13 сторін.

Приклад \(\PageIndex<4>\) Скільки градусів має кожен кут у рівнокутному нонагоні? Рішення Для початку нам потрібно знайти суму внутрішніх кутів; безліч \(n=9\) . \((9−2)\times 180^=7\times 180^=1260^\) «Рівнокутний» говорить нам, що кожен кут дорівнює. Отже, кожен кут є \(\dfrac<1260^>=140^\) .

Приклад \(\PageIndex<5>\) Внутрішній кут у правильному багатокутнику є \(135^\) . Скільки сторін має цей багатокутник? Рішення Тут ми встановимо формулу внутрішнього кута регулярного багатокутника рівну \(135^\) і вирішимо для n. \(\begin \dfrac<(n−2)\times 180^>&=135^ \\ 180^n−360^−360^&=135^n \\ n&=−45^ \\ n&=8\qquad \text \end\)

Рецензія

1. Яка сума кутів у 15-кутнику?
2. Яка сума кутів в 23-кутнику?
3. Сума внутрішніх кутів багатокутника дорівнює \(4320^\) . Скільки сторін має багатокутник?
4. Сума внутрішніх кутів багатокутника дорівнює \(3240^\) . Скільки сторін має багатокутник?
5. Яка міра кожного кута в правильному 16-кутнику?
6. Яка міра кожного кута в рівнокутному 24-кутнику?
7. Кожен внутрішній кут у правильному багатокутнику є \(156^\) . Скільки у нього сторін?
8. Кожен внутрішній кут в рівнокутному багатокутнику є \(90^\) . Скільки у нього сторін?

Для питань 10-18 знайдіть значення відсутньої змінної (ів).

1. Малюнок \(\PageIndex\)
2. Малюнок \(\PageIndex\)
3. Малюнок \(\PageIndex\)
4. Малюнок \(\PageIndex\)
5. Малюнок \(\PageIndex\)
6. Малюнок \(\PageIndex\)
7. Малюнок \(\PageIndex\)
8. Малюнок \(\PageIndex\)
9. Малюнок \(\PageIndex\)

1. Внутрішні кути шестикутника є \(x^\) \((x+1)^\) , \((x+2)^\) , \((x+3)^\) , \((x+4)^\) , і \((x+5)^\) . Що таке \(x\) ?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.1.

Внутрішні кути многокутника – формула та приклади

Суму внутрішніх кутів будь-якого многокутника можна обчислити за допомогою спеціальної формули.

Дана формула виводиться з огляду на те, що будь-який багатокутник можна розділити на трикутники. Якщо багатокутник правильний, ми можемо обчислити один із його внутрішніх кутів, поділивши загальну суму на кількість сторін багатокутника.

В даній публікації ми дізнаємось більше про внутрішні кути багатокутника та, за допомогою розв’язаних прикладів, навчимося знаходити їх суму.

Сума внутрішніх кутів многокутника.

Знайти суму внутрішніх кутів будь-якого многокутника, можна скориставшись наступною формулою:

де n – кількість сторін многокутника. Наприклад, для п’ятикутника, ми використовуємо значення n=5.

Зазначимо, що ця формула працює незалежно від того, чи є многокутник правильним чи ні. Це тому, що багатокутник завжди підтримує однакову суму внутрішніх кутів.

Давайте розглянемо кілька прикладів. У квадрата є чотири сторони, тому n = 4. Коли ми використаємо це значення у формулі, отримаємо:

Тепер, якщо ми розглянемо шестикутник, який має шість сторін, будемо мати:

Далі наведено таблицю із сумою внутрішніх кутів найпоширеніших многокутників:

Доведення формули для суми внутрішніх кутів многокутника.

Розглянемо наступний многокутник, який має вершини від V₁ до V_n.

Якщо ми приєднаємо V₁ до кожної вершини, за винятком V₂ і V_n, ми зможемо сформувати (n-2) трикутника, де n – кількість сторін багатокутника.

Як відомо, сума внутрішніх кутів трикутника завжди дорівнює 180°. Отже, сума внутрішніх кутів многокутника з n сторонами дорівнює .

Внутрішні кути правильного многокутника.

Ми можемо визначити розмір кожного внутрішнього кута правильного многокутника, починаючи з суми всіх внутрішніх кутів. Ми знаємо, що всі сторони правильного багатокутника однакові за довжиною та всі кути мають однакову градусну міру.

Отже, щоб знайти міру кожного кута, використовуємо суму внутрішніх кутів багатокутника і ділимо її на кількість сторін правильного многокутника. В результаті, отримаємо наступну формулу:

де n – кількість сторін многокутника.

Давайте розглянемо кілька прикладів. Для квадрата ми використовуємо n=4. Раніше ми побачили, що сума внутрішніх кутів у квадраті дорівнює 360°. Отже, коли ми ділимо цю суму на 4, ми маємо:

Тобто, кожен внутрішній кут квадрата дорівнює 90°.

Тепер у випадку шестикутника ми побачили, що сума його внутрішніх кутів дорівнює 720°. Отже, поділивши 720 на 6 (кількість сторін шестикутника), отримаємо:

Кожен внутрішній кут шестикутника дорівнює 120°.

Нижче наведено таблицю вимірювань внутрішнього кута правильного багатокутника:

Приклади задач та практичних запитань на тему «Внутрішні кути многокутника».

Приклад 1: що таке внутрішні кути багатокутника?

Внутрішніми кутами многокутника називаються кути, які лежать при вершинах усередині багатокутника.

Приклад 2: яка сума внутрішніх кутів 11 стороннього многокутника?

Зазначимо, що, в даному випадку, ми повинні використовувати формулу для суми внутрішніх кутів із значенням n=11. Отже, маємо:

Таким чином, сума внутрішніх кутів многокутника дорівнює 1620°.

Приклад 3: визначте міру внутрішніх кутів правильного одинадцятикутника (многокутник з одинадцятьма кутами).

Оскільки багатокутник правильний, ми можемо використати суму, отриману в попередньому прикладі, і розділити її на 11. В результаті матимемо:

Звідси, градусна міра внутрішнього кута многокутника з одинадцятьма кутами дорівнює 147.27°.

Дивіться також:

Хочете дізнатися більше про кути п’ятикутника та інших многокутників? Перегляньте ці сторінки: