Розділ 4 Правильні многокутники. Довжина кола. Площу круга

Знайдемо радіус R описаного кола та радіус r вписаного кола для правильного n-кутника зі стороною а. Нехай сторона правильного n-кутника AB = a, OA = R, OC = r (мал. 205). У рівнобедреному трикутнику AOB висота OC є його медіаною й бісектрисою, тому

Із прямокутного трикутника АОС знаходимо:

У правильному чотирикутнику (квадраті):

У правильному шестикутнику:

Формули для радіусів описаних і вписаних кіл правильних n-кутників подано в таблиці 22.

Задача. Виразіть сторону аn правильного n-кутника через радіус R 1 описаного навколо нього кола й радіус г вписаного кола.

Обчисліть a , якщо n = 3, 4, 6.

Підставивши в цю формулу замість n числа 3, 4, 6, одержимо формули, що виражають через радіуси описаних кіл сторони правильного трикутника, чотирикутника й шестикутника:

Пам’ятайте, що за однією з величин — a_n, r чи R — можна обчислити дві інші.

2. ПОБУДОВА ПРАВИЛЬНИХ МНОГОКУТНИКІВ

Для побудови правильного n-кутника використовують описане навколо нього коло.

Задача 1 . Побудуйте правильний шестикутник.

Розв’язання. Сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу R описаного навколо нього кола. Проводимо коло радіуса R і позначаємо на ньому довільну точку A₁ (мал. 206). Потім, не змінюючи розхилу циркуля, будуємо на колі точки A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ так, щоб виконувалася рівність ◡AA₂ = ◡A₂A₃ = ◡AgA₄ = ◡A₄A₅ = ◡A₅A₆. Послідовно сполучивши відрізками побудовані точки, одержимо правильний шестикутник.

Щоб побудувати правильний n-кутник, поділіть коло на п рівних частин і послідовно сполучіть точки поділу.

Задача 2. Побудуйте правильний трикутник.

Розв’язання. Будуємо спочатку правильний шестикутник (задача 1), а потім сполучаємо відрізками його вершини через одну (мал. 207).

Задача 3. Побудуйте правильний чотирикутник.

Розв’язання. Креслимо коло й через його центр проводимо дві перпендикулярні прямі (мал. 208). Вони перетнуть коло в чотирьох точках — вершинах квадрата.

Чи можна побудувати інші правильні n-кутники? Так. Якщо ви побудували правильний n-кутник, то легко побудуєте і правильний 2N-КУТНИК.

Наприклад, побудуємо правильний 8-кутник. Будуємо правильний чотирикутник (задача 3). Проводимо до його сторін серединні перпендикуляри (мал. 209). Точки перетину серединних перпендикулярів з колом разом з вершинами чотирикутника й будуть вершинами правильного 8-кутника. Цим самим способом можна побудувати правильний 16-кутник, правильний 32-кутник і т. д.

Знайдемо площу правильного n-кутника, якщо дано:

1) радіус R описаного кола;

2) радіус r вписаного кола;

Подивіться на малюнок 210. Площа правильного n-кутника S = n ∙ S_AOB.

1 ) S_∆AOB = AO ∙ BO ∙ sin ∠AOB (мал. 210).

Отже, площа правильного n-кутника дорівнює:

1. Виведіть формули для радіусів вписаного й описаного кіл правильного n-кутника.

2. За якими формулами знаходять радіуси вписаного й описаного кіл для правильного трикутника, чотирикутника, шестикутника?

3. За якими формулами знаходять сторону правильного n-кутника через радіуси вписаного й описаного кіл?

4. Як побудувати правильний шестикутник; трикутник; чотирикутник?

713′. Чи правильно записано формулу для знаходження радіусів описаних і вписаних кіл через сторону правильного n-кутника:

714′. Чи правильно записано формулу для знаходження радіусів описаних і вписаних кіл через сторону а:

3) правильного шестикутника:

715°. На малюнках 211, 212 зображено правильні многокутники, вписані в коло. За даними на малюнках знайдіть радіус кола.

716°. На малюнку 213 зображено правильний шестикутник, вписаний у коло. За даними на малюнку знайдіть радіус кола.

717°. На малюнках 214, 215 зображено правильні многокутники, описані навколо кола. За даними на малюнках знайдіть радіус кола.

718°. На малюнку 216 зображено правильний шестикутник, описаний навколо кола. За даними на малюнку знайдіть радіус кола.

719°. Знайдіть сторону правильного трикутника, якщо радіус описаного навколо нього кола дорівнює:

720°. Знайдіть сторону правильного трикутника, якщо радіус вписаного в нього кола дорівнює:

721°. Обчисліть радіус кола, вписаного в правильний трикутник, якщо радіус описаного кола дорівнює:

722°. Доведіть, що радіус кола, описаного навколо правильного трикутника, дорівнює діаметру вписаного в нього кола.

723°. a — сторона правильного трикутника, Р — його периметр, R і r — радіуси описаного і вписаного кіл. Накресліть у зошиті таблицю 23 й заповніть її.

724°. У квадрат вписано коло, радіус якого дорівнює 4 см. Обчисліть:

2) радіус кола, описаного навколо квадрата.

725°. Знайдіть радіус кола, вписаного у квадрат, якщо його периметр дорівнює:

726°. Обчисліть периметр квадрата, якщо радіус кола, описаного навколо нього, дорівнює:

727°. а — сторона правильного чотирикутника, Р — його периметр, R і r — радіуси описаного і вписаного кіл. Накресліть у зошиті таблицю 24 й заповніть її.

728°. Знайдіть периметр правильного шестикутника, якщо радіус описаного кола дорівнює:

729°. Знайдіть сторону правильного шестикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює:

730°. Обчисліть радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, якщо радіус описаного кола дорівнює:

731°. На малюнку 217 показано побудову правильного шестикутника. Поясніть побудову.

732°. Побудуйте правильний трикутник, дотримуючись плану:

1) циркулем накресліть коло;

2) не змінюючи розхилу циркуля, поділіть коло на шість рівних частин;

3) сполучіть відрізками точки поділу через одну.

733°. Виконайте такі побудови:

1) циркулем накресліть коло із центром О;

2) через точку О проведіть довільну пряму й позначте точки її перетину з колом буквами А і В;

3) через точку О проведіть пряму, перпендикулярну до прямої АВ; точки перетину цієї прямої з колом позначте буквами С і D;

4) послідовно сполучіть відрізками точки А, В, С і D.

Як називається побудований многокутник?

734°. Побудуйте правильний шестикутник зі стороною, що дорівнює даному відрізку АВ = а.

735°. Впишіть у коло квадрат, якщо радіус кола дорівнює:

736°. Впишіть у коло правильний:

737°. Опишіть навколо кола правильний:

738. a — сторона правильного шестикутника, Р — його периметр, R і r — радіуси описаного і вписаного кіл. Накресліть у зошиті таблицю 25 і заповніть її.

739. Знайдіть сторону правильного трикутника, якщо різниця між радіусами кіл, описаного навколо правильного трикутника і вписаного в нього, дорівнює:

740. Обчисліть радіуси кіл, вписаного в правильний трикутник й описаного навколо нього, якщо їхня різниця дорівнює:

741. Знайдіть радіуси кіл, вписаного у квадрат й описаного навколо нього, якщо їхній добуток дорівнює:

742. Обчисліть радіуси кіл, описаного навколо правильного шестикутника і вписаного в нього, якщо їхня різниця дорівнює:

743. У коло вписано правильний трикутник і квадрат. Знайдіть сторону квадрата, якщо периметр трикутника дорівнює:

744. Знайдіть сторону правильного шестикутника, вписаного в коло, якщо сторона правильного трикутника, описаного навколо цього кола, дорівнює:

745. Обчисліть сторону квадрата, описаного навколо кола, якщо сторона правильного шестикутника, вписаного в це коло, дорівнює:

746. Знайдіть сторону правильного шестикутника, описаного навколо кола, якщо сторона правильного трикутника, вписаного в це коло, дорівнює:

747. Навколо кола описано квадрат і правильний шестикутник. Знайдіть периметр квадрата, якщо периметр шестикутника дорівнює:

748. Обчисліть сторону правильного шестикутника, радіуси описаного і вписаного кіл, якщо більша діагональ шестикутника дорівнює:

749. Знайдіть сторону правильного шестикутника та радіус вписаного кола, якщо його менша діагональ дорівнює:

750. Знайдіть діагоналі правильного шестикутника, якщо його сторона дорівнює:

751. Спільна хорда двох кіл, що перетинаються, є для одного кола стороною правильного вписаного трикутника, а для другого — стороною правильного вписаного шестикутника. Знайдіть відстань між центрами кіл, якщо хорда дорівнює:

752. Сторона якого правильного вписаного в коло n-кутника є хордою, перпендикулярною до радіуса в його середині? Відповідь поясніть.

753. У якого правильного многокутника радіус вписаного кола вдвічі менший від сторони?

754. На сторонах правильного трикутника поза ним побудовано квадрати. Чи є вершини квадратів вершинами правильного шестикутника? Відповідь поясніть.

755. Побудуйте правильний шестикутник, якщо його більша діагональ дорівнює:

756. Побудуйте правильний чотирикутник, якщо його сторона дорівнює:

757*. Через середини двох суміжних сторін правильного чотирикутника, вписаного в коло радіуса R, проведено хорду. Яка довжина цієї хорди, якщо:

758*. У коло радіуса R вписано правильний n-кутник і середини його сторін послідовно сполучено. Знайдіть сторону утвореного многокутника, якщо:

759*. За яких значень n сторона правильного n-кутника:

1) більша за радіус описаного кола;

2) дорівнює радіусу описаного кола;

3) менша від радіуса описаного кола?

760*. Три рівні кола, що попарно дотикаються одне до одного, зовні дотикаються до кола радіуса R. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо:

761*. У правильному восьмикутнику зі стороною а сполучено середини чотирьох сторін, узятих через одну, так, що утворився квадрат. Знайдіть сторону цього квадрата.

762*. У правильному 12-кутнику зі стороною а сполучено середини шести сторін, узятих через одну, так, що утворився правильний шестикутник. Знайдіть його сторону.

де a₈ і r₈ — відповідно сторона правильного 8-кутника й радіус вписаного в нього кола; R — радіус описаного кола.

де a₁₂ і r₁₂ — відповідно сторона правильного 12-кутника й радіус вписаного в нього кола; R — радіус описаного кола.

765*. Знайдіть радіус кола, описаного навколо правильного n-кутника зі стороною а, якщо:

766*. Побудуйте трикутник так, як показано на малюнку 218. Доведіть, що ∆АВС — правильний.

767*. Побудуйте правильний восьмикутник зі стороною, що дорівнює даному відрізку АВ = а.

768*. Побудуйте правильний 12-кутник зі стороною, що дорівнює даному відрізку АВ = а.

769. Знайдіть розмір отвору h ключа для правильної шестигранної гайки, якщо ширина грані гайки а = 2,5 см (мал. 219). Величина зазору між гранями гайки та ключа дорівнює 0,5 мм.

770. Найпростіше мансардне покриття утворює у вертикальному перерізі половину правильного восьмикутника (мал. 220). Знайдіть ширину перекриття BD, сторону восьмикутника та висоту мансардної кімнати ABCDE, якщо AE = 6 м.

771. На квадратній ділянці землі потрібно розбити клумбу для квітів у формі правильного восьмикутника. Запропонуйте спосіб побудови такої клумби.

772*. Як розбити клумбу для квітів у формі п’ятикутної зірки?

Використовуючи сайт ви погоджуєтесь з правилами користування

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Ми приєднуємось до закону про авторське право в цифрову епоху DMCA прийнятим за основу взаємовідносин в площині вирішення питань авторських прав в мережі Інтернет. Тому підтримуємо загальновживаний механізм “повідомлення-видалення” для об’єктів авторського права і завжди йдемо на зустріч правовласникам.

Копіюючи матеріали во повинні узгодити можливість їх використання з авторами. Наш сайт не несе відподвідальність за копіювання матеріалів нашими користувачами.

Правильний многокутник. Формули, ознаки та властивості правильного многокутника

Многокутником називається частина площі, яка обмежена замкненою ламаною лінією, що не перетинає сама себе.

Ознаки правильного многокутника

Основні властивості правильного многокутника

3. Центр вписаного кола O_в співпадає з центром описаного кола O_о, і вони утворюють центр многокутника O

6. Кількість діагоналей (D_n) n -кутника дорівнює половині добутку кількості вершин на кількість діагоналей, що виходять з кожної вершини:

7. В будь який многокутник можна вписати коло та описати круг при цьому площа кільця, утвореного цими колами, залежить тільки від довжини сторони многокутника:

Правильний n -кутник – формули

Формули довжини сторони правильного n -кутника

Формула радіуса вписаного кола правильного n -кутника

Формула радіуса описаного кола правильного n -кутника

Формули площі правильного n -кутника

Формула периметру правильного многокутника:

Формула визначення кута між сторонами правильного многокутника:

Правильний трикутник

Формули правильного трикутника:

Правильний чотирикутник

Формули правильного чотирикутника:

Правильний шестикутник

Формули правильного шестикутника:

Правильний восьмикутник

Формули правильного восьмикутника:

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]