Зміст:
Розділ 3 РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ
• навчитеся знаходити співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, розв’язувати прямокутні трикутники.
§18. ТЕОРЕМА ПІФАГОРА
Розглянемо одну з найважливіших теорем геометрії, яка встановлює залежність між катетами та гіпотенузою прямокутного трикутника.
Т е о р е м а 1 (теорема Піфагора). У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
На сьогоднішній день відомо більше ніж сто доведень цієї теореми. Розглянемо одне з них.
Д о в е д е н н я. Нехай ABC – довільний прямокутний трикутник, у якого ∠C = 90° (мал. 172). Доведемо, що
2) За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику маємо: AC 2 = AB ∙ AD, BC 2 = AB ∙ BD.
3) Додамо почленно ці дві рівності. Матимемо:
AC 2 + BC 2 = AB ∙ AD + AB ∙ BD = AB ∙ (AD + BD) = AB ∙ AB = AB 2 .
Якщо позначити у ∆ABC (∠C = 90°) BC = a, AC = b, AB = c (мал. 173), то теорему Піфагора можна записати формулою: с 2 = а 2 + b 2 .
За допомогою теореми Піфагора, знаючи дві сторони прямокутного трикутника, можна знайти третю.
У цьому нам допоможе така схема:
Задача 1. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 7 см і 24 см. Знайдіть гіпотенузу.
Р о з в’ я з а н н я. Нехай a = 7 см, b = 24 см, тоді
Задача 2. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 17 см, а один з катетів – 15 см. Знайдіть другий катет.
Р о з в’ я з а н н я. Нехай a = 15 см, c = 17 см, тоді
Задача 3. Знайдіть діагональ квадрата, сторона якого дорівнює а.
Р о з в’ я з а н н я. Розглянемо квадрат ABCD, у якого AB = AD = а (мал. 174).
Задача 4. Знайдіть медіану рівностороннього трикутника, якщо його сторона дорівнює а.
Р о з в’ я з а н н я. Розглянемо рівносторонній трикутник зі стороною a, BK – медіана цього трикутника (мал. 175).
Оскільки BK – медіана рівностороннього трикутника, то вона є також і висотою.
У ∆ABK: ∠K = 90, AB = а, AK = . Тоді
Задача 5. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 12 см і 22 см, а бічна сторона – 13 см. Знайдіть висоту трапеції.
Р о з в’ я з а н н я. Нехай ABCD – дана трапеція, AD || BC, AD = 22 см, BC = 12 см, AB = CD = 13 см (мал. 176).
1) Проведемо висоти BK і CM.
2) ∆ABK = ∆DCM (за катетом і гіпотенузою), тому
3) Із ∆ABK за теоремою Піфагора маємо:
Задача 6. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 8 см, а другий на 2 см менший від гіпотенузи. Знайдіть невідомий катет трикутника.
Р о з в’ я з а н н я. Нехай а = 8 см і b = x см – катети трикутника, тоді c = (x + 2) см – його гіпотенуза.
Оскільки за теоремою Піфагора c 2 = а 2 + b 2 , маємо рівняння:
(x + 2) 2 = 8 2 + x 2 , звідки x = 15 (см).
Отже, невідомий катет дорівнює 15 см.
Справджується і твердження, обернене до теореми Піфагора.
Т е о р е м а 2 (обернена до теореми Піфагора). Якщо у трикутнику ABC має місце рівність AB 2 = АС 2 + ВС 2 , то кут C цього трикутника — прямий.
Д о в е д е н н я. Нехай у трикутнику ABC AB 2 = AC 2 + BC 2 . Доведемо, що ∠C = 90° (мал. 177).
Але за умовою AC 2 + BC 2 = AB 2 , тому А1В 2 1 = AB 2 , тобто A1B1 = AB.
Отже, ∆ABC = ∆A1B1C1 (за трьома сторонами), звідки ∠C = ∠C1 = 90°.
Оскільки 5 2 = 3 2 + 4 2 , то трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 є прямокутним. Такий трикутник часто називають єгипетським, оскільки про те, що він прямокутний, було відомо ще давнім єгиптянам.
Трійку цілих чисел, що задовольняє теорему Піфагора, називають піфагоровою трійкою чисел, а трикутник, для якого вона є довжинами сторін, – піфагоровим трикутником. Наприклад, піфагоровою є не тільки трійка чисел 3, 4, 5, а й 7, 24, 25 або 9, 40, 41 тощо.
Зауважимо, що з теореми Піфагора та теореми, оберненої до неї, слідує, що трикутник є прямокутним тоді і тільки тоді, коли квадрат найбільшої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін.
Задача 7. Чи є прямокутним трикутник зі сторонами:
Р о з в’ я з а н н я. 1) Оскільки 10 2 = 6 2 + 8 2 (100 = 100), то трикутник є прямокутним. 2) Оскільки 9 2 ≠ 5 2 + 7 2 (81 ≠ 74), то трикутник не є прямокутним.
В і д п о в і д ь. 1) Так; 2) ні.
Теорема, яку названо на честь давньогрецького філософа і математика Піфагора, була відома задовго до нього. У текстах давніх вавилонян про неї згадувалося ще за 1200 років до Піфагора. Скоріш за все, доводити цю теорему вавилоняни не вміли, а залежність між катетами та гіпотенузою прямокутного трикутника встановили дослідним шляхом. Також ця теорема була відома у Стародавньому Єгипті та Китаї.
Вважають, що Піфагор – перший, хто запропонував строге доведення теореми.
Формулювання в Піфагора було таким:
«Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах». Саме в такому формулюванні теорему і було доведено Піфагором.
Малюнок до цього доведення ще називають «піфагоровими штанями».
Знаючи, що трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 є прямокутним, землеміри Стародав нього Єгипту використовували його для побудови прямого кута. Мотузку ділили вузлами на 12 рівних частин, а її кінці з’єднували. Потім за допомогою кілків мотузку розтягували на землі у вигляді трикутника зі сторонами 3; 4; 5. Тоді кут, що лежав проти сторони, що дорівнювала 5, був прямим.
1. Сформулюйте і доведіть теорему Піфагора.
2. Сформулюйте теорему, обернену до теореми Піфагора.
3. Який трикутник називають єгипетським?
4. Які трійки чисел і трикутники називають піфагоровими?
629. (Усно.) ∆MKL – прямокутний, ∠M = 90° (мал. 178). Які з рівностей правильні:
630. Д EFP – прямокутний, ∠P = 90°. Заповніть пропуски:
1) EF 2 = … 2 + … 2 ; 2) EP 2 = … 2 – … 2 .
631. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють:
1) 6 см і 8 см; 2) 12 см і 35 см.
632. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють:
1) 5 см і 12 см; 2) 8 см і 15 см.
633. Знайдіть невідомий катет прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза і другий катет відповідно дорівнюють:
1) 17 см і 8 см; 2) 26 см і 10 см.
634. Знайдіть невідомий катет прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза і другий катет відповідно дорівнюють:
1) 25 см і 7 см; 2) 41 см і 40 см.
635. Дві більші сторони прямокутного трикутника дорівнюють 7 см і 5 см. Знайдіть його найменшу сторону.
636. Дві менші сторони прямокутного трикутника дорівнюють 2 см і 3 см. Знайдіть його найбільшу сторону.
637. Сторони прямокутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть його діагональ.
638. Діагональ прямокутника дорівнює 13 см, а одна з його сторін – 12 см. Знайдіть другу сторону прямокутника.
639. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 15 см, а висота, проведена до основи, – 12 см. Знайдіть основу трикутника.
640. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 16 см, а висота, проведена до основи, – 15 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.
641. Діагоналі ромба дорівнюють 24 см і 70 см. Знайдіть сторону ромба.
642. Сторона ромба дорівнює 13 см, а одна з діагоналей – 10 см. Знайдіть другу діагональ ромба.
643. Діагональ квадрата дорівнює Знайдіть його сторону.
644. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 7 см і 8 см. Знайдіть довжину медіани, проведеної до більшого катета.
645. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 9 см. Знайдіть довжину медіани, проведеної до меншого катета.
646. З точки A до кола із центром O проведено дотичну, B – точка дотику. Знайдіть довжину відрізка AO, якщо OB = 2 см, AB = 7 см.
647. З точки M до кола із центром O проведено дотичну, P – точка дотику. Знайдіть довжину відрізка PM, якщо OP = 3 см, OM = 6 см.
648. Чи є прямокутним трикутник зі сторонами:
649. Чи є прямокутним трикутник зі сторонами:
650. У колі, радіус якого дорівнює 13 см, проведено хорду, завдовжки 10 см. Знайдіть відстань від центра кола до даної хорди.
651. У колі проведено хорду завдовжки 16 см. Знайдіть радіус кола, якщо відстань від центра кола до хорди дорівнює 6 см.
652. Дві сторони прямокутного трикутника дорівнюють 5 см і 6 см. Знайдіть третю сторону (розгляньте всі випадки).
653. Дві сторони прямокутного трикутника дорівнюють 5 см і 2 см. Знайдіть третю сторону (розгляньте всі випадки).
654. Катети прямокутного трикутника відносяться як 7 : 24, а гіпотенуза дорівнює 50 см. Знайдіть периметр трикутника.
655. Катет відноситься до гіпотенузи як 8 : 17. Знайдіть периметр трикутника, якщо другий катет дорівнює 30 см.
656. Знайдіть довжину невідомого відрізка x на малюнках 179-182.
657. Знайдіть довжину невідомого відрізка x на малюнках 183 і 184.
658. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 6 см, а другий на 2 см менший від гіпотенузи. Знайдіть периметр трикутника.
659. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 5 см, а гіпотенуза на 1 см більша за другий катет. Знайдіть периметр трикутника.
660. У трикутнику ABC кут A тупий, BC = 39 см, AB = 17 см. BK – висота трикутника, BK = 15 см. Знайдіть AC.
661. BK – висота трикутника ABC, у якого AC – тупий. AB = 20 см, BC = 13 см, CK = 5 см. Знайдіть AC.
662. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до бічної сторони, дорівнює 5 см і поділяє її на два відрізки так, що прилеглий до вершини рівнобедреного трикутника відрізок дорівнює 12 см. Знайдіть основу трикутника.
663. Висота BK рівнобедреного трикутника ABC (AB = AC) ділить сторону AC на відрізки AK = 24 см і KC = 1 см. Знайдіть основу трикутника.
664. Знайдіть сторони паралелограма, діагоналі якого дорівнюють 8 см і 10 см і одна з них перпендикулярна до сторони.
665. Радіус кола, описаного навколо тупокутного рівнобедреного трикутника, дорівнює 37 см, а його
основа – 70 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.
666. Висота рівнобедреного гострокутного трикутника, проведена до основи, дорівнює 18 см, а радіус кола, описаного навколо нього, – 13 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.
667. Побудуйте відрізок, довжина якого дорівнює см.
668. Побудуйте відрізок, довжина якого дорівнює см.
669. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки завдовжки 10 см і 26 см. Знайдіть периметр трикутника.
670. Бісектриса прямого кута трикутника ділить гіпотенузу на відрізки, що дорівнюють 15 см і 20 см. Знайдіть периметр трикутника.
671. У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить катет на відрізки 2 см і 10 см. Знайдіть периметр трикутника.
672. Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні і дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть середню лінію трапеції.
673. Рівнобічну трапецію з основами а і b описано навколо кола. Доведіть, що її висота дорівнює
674. Відношення бічної сторони до основи рівнобедреного трикутника дорівнює 5 : 8, а різниця відрізків, на які бісектриса кута при основі ділить висоту, проведену до основи, дорівнює 3 см. Знайдіть периметр трикутника.
675. Бічна сторона рівнобедреного трикутника на 5 см менша від основи. Відрізки, на які бісектриса кута при основі ділить висоту, проведену до основи, відносяться як 5 : 3. Знайдіть периметр трикутника.
676. Один з кутів прямокутного трикутника дорівнює 30°. Знайдіть медіану цього трикутника, проведену до гіпотенузи, якщо сума гіпотенузи і меншого катета дорівнює 18 см.
677. Коло радіуса 3 см вписано в ромб. Один з відрізків, на які точка дотику ділить сторону ромба, дорівнює 9 см. Знайдіть периметр ромба.
678. Трапецію вписано в коло так, що діаметр кола є її більшою основою, а відношення основ дорівнює 2 : 1. Знайдіть кути трапеції.
Розв’яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу
679. Побудуйте пряму m та точку A на відстані 2 см від прямої m і точку B на відстані 3 см від прямої m.
680. Побудуйте пряму а та позначте точку B, яка їй не належить.
1) Побудуйте перпендикуляр BK до прямої а.
2) Побудуйте відрізок BM, де M – деяка точка прямої а.
3) Порівняйте довжини відрізків BK і BM.
681. Побудуйте паралельні прямі, відстань між якими дорівнює 2 см.
Цікаві задачі для учнів неледачих
682. Чи можна розмістити на площині 6 точок так, щоб будь-які три з них були вершинами рівнобедреного трикутника?
Як знайти катет?
Катети – дві сторони трикутника, що утворюють прямий кут, тобто існують катети тільки в прямокутному трикутнику. І зараз ми поговоримо про те, як знайти катет трикутника.
Як знайти катет: позначення і формули
Позначення
- нехай перший катет – це “k”, другий – “m”, це сторони, що утворюють кут 90 0 (Прямий кут);
- довжина гіпотенузи – “s”;
- кут А – протіволежіт катету “k”;
- кут В – протіволежіт катету “m”.
Способи знаходження катета
Теорема Піфагора
За допомогою теореми Піфагора можна знайти катет прямокутного трикутника, коли відома довжина гіпотенузи і довжина одного з катетів.
Згідно з теоремою Піфагора: сума квадратів катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи.
Гіпотенуза – сторона трикутника, що лежить навпроти прямого кута (тобто існує тільки в прямокутному трикутнику).
s 2 = K 2 +m 2 – звідси знайдемо катет “k”:
k 2 = S 2 -m 2 або k = квадратний корінь з (s 2 -m 2 )
Тригонометричні функції
Допоможуть у знаходженні катета, якщо відомий один з гострих кутів і довжина гіпотенузи (варіант 1). Або якщо відомий один з гострих кутів і довжина одного з катетів (варіант 2).
Коли відома довжина гіпотенузи “s” і один гострий кут, наприклад, кут А. Тоді:
- k = s * sin (A)
Тобто: довжина катета є твір косинуса прилежащего кута і довжини гіпотенузи. - m = s * cos (A)
Тобто: довжина катета є твір синуса прилежащего кута і довжини гіпотенузи.
Коли відома довжина одного з катетів, наприклад, “k” і один гострий кут, наприклад, А. Тоді:
Тобто: довжина катета є твір довжини другого катета і тангенса кута, лежачого проти шуканого катета.
Цей спосіб дозволяє також знайти гіпотенузу: s = k * sin (A)
Ми розглянули основні способи, які дадуть відповідь Вам, як знайти катет прямокутного треугольніка- привели необхідні формули.
Як знайти катет?
Катети – дві сторони трикутника, що утворюють прямий кут, тобто існують катети тільки в прямокутному трикутнику. І зараз ми поговоримо про те, як знайти катет трикутника.
Як знайти катет: позначення і формули
позначення
- нехай перший катет – це “k”, другий – “m”, це сторони, що утворюють кут 90 0 (прямий кут);
- довжина гіпотенузи – “s”;
- кут А – протіволежіт катету “k”;
- кут В – протіволежіт катету “m”.
Способи знаходження катета
теорема Піфагора
За допомогою теореми Піфагора можна знайти катет прямокутного трикутника, коли відома довжина гіпотенузи і довжина одного з катетів.
Згідно з теоремою Піфагора: сума квадратів катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи.
Гіпотенуза – сторона трикутника, що лежить навпроти прямого кута (тобто існує тільки в прямокутному трикутнику).
s 2 = k 2 +m 2 – звідси знайдемо катет “k”:
k 2 = s 2 -m 2 або k = квадратний корінь з (s 2 -m 2 )
тригонометричні функції
Допоможуть в знаходженні катета, якщо відомий один з гострих кутів і довжина гіпотенузи (варіант 1). Або якщо відомий один з гострих кутів і довжина одного з катетів (варіант 2).
Коли відома довжина гіпотенузи “s” і один гострий кут, наприклад, кут А. Тоді:
- k = s * sin (A)
Тобто: довжина катета є твір косинуса прилеглого кута і довжини гіпотенузи. - m = s * cos (A)
Тобто: довжина катета є твір синуса прилеглого кута і довжини гіпотенузи.
Коли відома довжина одного з катетів, наприклад, “k” і один гострий кут, наприклад, А. Тоді:
Тобто: довжина катета є твір довжини другого катета і тангенса кута, лежачого проти шуканого катета.
Цей спосіб дозволяє також знайти гіпотенузу: s = k * sin (A)
Ми розглянули основні способи, які дадуть Вам, як знайти катет прямокутного треугольніка- привели необхідні формули.
