Як знайти гіпотенузу, знаючи катет і кут

Відомо багато видів трикутників: правильний, рівнобедрений, гострокутий і так далі. Всі вони мають характерні лише для них властивостями і у кожного свої правила знаходження величин, будь це сторона або кут при основі. Але з усього розмаїття цих геометричних фігур в окрему групу можна виділити трикутник з прямим кутом.

Трикутник називається прямокутним, якщо один з його кутів дорівнює 90 градусів. Він складається з двох катетів і гіпотенузи. Гіпотенузою називають більшу сторону цього трикутника. Вона лежить проти прямого кута. Катетами, відповідно, називають менші його боку. Вони можуть бути як рівні між собою, так і мати різну величину. Рівність катетів означає, що ви працюєте з рівнобедреним прямокутним трикутником. Принадність його в тому, що він об’єднує в собі властивості двох фігур: прямокутного і рівнобедреного трикутника. Якщо катети не рівні, то трикутник довільний і підпорядковується основному закону: чим більше кут, тим більше що лежить навпроти нього котить.

Існує кілька способів знаходження гіпотенузи по катету і куті. Але перш ніж скористатися одним з них, слід визначити, який катет і кут відомі. Якщо дано кут і прилегла до нього катет, то гіпотенузу легше все знайти за косинусу кута. Косинусом гострого кута (cos a) у прямокутному трикутнику називають відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Звідси випливає, що гіпотенуза (с) буде дорівнює відношенню прилеглого катета (b) до косинуса кута a (cos a). Це можна записати так: cos a = b / c => c = b / cos a.

Якщо дано кут і протилежний катет, то слід працювати з синусом. Синус гострого кута (sin a) у прямокутному трикутнику є відношення протилежного катета (a) до гіпотенузи (c). Тут працює принцип, що і в попередньому прикладі, тільки замість функції косинуса береться синус. sin a = a / c => c = a / sin a.

Також можна скористатися такою тригонометричної функцією, як тангенс. Але знаходження шуканої величини злегка ускладниться. Тангенсом гострого кута (tg a) у прямокутному трикутнику називають відношення протилежного катета (а) до прилеглого (b). Знайшовши обидва катета, застосуйте теорему Піфагора (квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів) і велика сторона трикутника буде знайдена.

1. Прямокутні трикутники

Сторона прямокутного трикутника, протилежна прямому куту, називається гіпотенузою, дві інші сторони — катетами.

Користуючись ознаками рівності трикутників і теоремою про суму кутів трикутника, можна сформулювати ознаки рівності характерні тільки для прямокутних трикутників:

\(1.\) Ознака рівності прямокутних трикутників за двома катетами
Якщо два катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам другого прямокутного
трикутника, то такі трикутники рівні.

\(2.\) Ознака рівності прямокутних трикутників за катетом і прилеглим гострим кутом
Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету
й прилеглому до нього гострому куту другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

\(3.\) Ознака рівності прямокутних трикутників за катетом і протилежним кутом
Якщо катет і протилежний йому кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету й протилежному йому куту другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

\(4.\) Ознака рівності прямокутних трикутників за гіпотенузою й гострим кутом
Якщо гіпотенуза й гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й гострому
куту другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

\(5.\) Ознака рівності прямокутних трикутників за гіпотенузою й катетом
Якщо гіпотенуза й катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й катету другого
прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

Катет прямокутного трикутника, що лежить навпроти кута 30 ° \(,\) дорівнює половині гіпотенузи (гіпотенуза удвічі довша від катета навпроти кута 30 ° ).