Зміст:
Площа квадрата
Під час уроків математики школярі непросто вирішують приклади з алгоритму. Діти вчаться аналізувати, розвивають просторове мислення, знайомляться з різними способами вирішення завдань. У цьому їм допомагають теми за основними геометричними поняттями та просторовими величинами.
Одна з таких тем – площа квадрата. Школярі вивчають її за принципом від простого до складного: спочатку досліджують базові поняття, потім вчаться вирішувати завдання і використовувати різні змінні. Тема неодноразово зустрічається у шкільних підручниках.
- Що таке площа квадрата
- Корисна інформація про площу квадрата
- Формули площі квадрата
- Через довжину сторони
- Через довжину діагоналі
- Через радіус вписаного кола
- Через радіус описаного кола
- Через периметр
- Завдання на перебування площі квадрата із рішенням
- Завдання 1
- Завдання 2
- Знаходження площі квадрата: формула і приклади
- Формула обчислення площі
- Приклади завдань
- Відео – як знайти площу квадрата
Що таке площа квадрата
Площа квадрата – це величина, яка показує, скільки місця у просторі займає геометрична фігура. Для позначення сторін квадрата можуть використовуватись цілі числа, дроби та різні одиниці виміру.
Корисна інформація про площу квадрата
| Площа квадрата школярі починають вивчати вже у 2 класі | Діти вчаться вирішувати приклади за формулою та знайомляться з першими поняттями з геометрії. |
| Площа завжди вимірюється у квадратних одиницях | У шкільних підручниках найчастіше використовуються такі одиниці виміру: мм 2 , см2 , дм2 , м2 , км2 . При вирішенні необхідно стежити, щоб усі значення були приведені до єдиних мірок. |
| За допомогою площі квадрата можна знайти площі складніших фігур | Наприклад, багатокутник можна розбити на кілька простих фігур, знайти їх площі та дізнатися величину всієї фігури. |
Формули площі квадрата
Площу квадрата можна розрахувати у різний спосіб, залежно від цього, які вихідні дані є у задачі. У школах вивчають п’ять основних формул. Розберемо їх докладніше.
Через довжину сторони
Найпоширеніша формула – розрахунок через довжину сторони. Завдяки своїй простоті завдання за цим алгоритмом підходять для молодших класів.
Рішення будуються у тому, що квадрат — це різновид прямокутника. Значить, їх площі розраховується однаково: необхідно перемножити дві суміжні сторони. Так як у квадрата вони рівні один одному, можна звести сторону на другий ступінь.
Якщо площа квадрата S, а його сторона, формула виглядає так:
Через довжину діагоналі
Буває, що завдання немає даних про сторони квадрата, зате відома його діагональ. Ця лінія поєднує протилежні кути фігури.
Щоб розрахувати площу, необхідно звести діагональ квадрат, а потім розділити на 2.
Позначимо діагональ d, і вийде така формула:
Через радіус вписаного кола
Якщо за умовою завдання всередину квадрата вписано коло, можна розрахувати площу за допомогою її радіусу. Для цього необхідно звести радіус у квадрат і додатково помножити результат, що вийшов на 4.
У формулі радіус вписаного кола позначається малою латинською літерою r:
Через радіус описаного кола
Якщо описати навколо квадратної фігури коло та розрахувати її радіус, це допоможе обчислити площу квадрата. Спочатку довжину радіуса необхідно звести на другий ступінь. Потім подвоїти отримане число.
Для формули радіус описаного кола запишемо літерою R:
Через периметр
Периметр квадрата – це сума всіх його сторін. Він допомагає обчислити площу фігури, навіть якщо завдання більше немає інших даних.
Порядок дій при вирішенні може бути різним. Один спосіб: звести периметр на другий ступінь, а потім розділити отримане число на 16.
Якщо цей спосіб здається громіздким та важким для запам’ятовування, можна піти другим шляхом. Необхідно розділити периметр на 4. Отримане число — одна сторона квадрата. Далі використовуємо найпростішу формулу: зводимо довжину на другий ступінь.
Завдання на перебування площі квадрата із рішенням
Застосуємо практично кілька формул, щоб розрахувати площу квадрата.
Завдання 1
Трибуна для вболівальників має форму квадрата. Довжина сторони дорівнює 50 м. Розрахуйте площу, яку займає трибуна на стадіоні.
Дано:
а = 50 м
Рішення : оскільки сторони трибуни відомі, перемножимо дві сторони між собою.
Відповідь : трибуна займає 250 м²
Завдання 2
Будівельна бригада має відремонтувати квадратну кімнату. Відомо, що відстань між протилежними кутами приміщення становить 6 м. Розрахуйте площу кімнати.
Рішення : використовуємо формулу розрахунку площі за допомогою діагоналі, тому що нам відомий лише цей показник.
Відповідь : площа кімнати складає 18 м²
Знаходження площі квадрата: формула і приклади
Формула обчислення площі
1. По довжині боку:
Площа квадрата (S) дорівнює квадрату довжини його сторони:
Дана формула випливає з того, що квадрат є окремим випадком прямокутника, площа якого знаходиться шляхом множення його суміжних сторін:
А тому всі сторони квадрата рівні, то замість боку b ми знову підставляємо в формулу сторону a , тобто S = a * a = a 2 .
2. По по довжині діагоналі
Площа квадрата дорівнює половині квадрата довжини його діагоналі:
Співвідношення боку і діагоналі квадрата: d = a√ 2 .
Приклади завдань
Завдання 1
Знайдіть площу квадрата, сторона якого дорівнює 7 см.
Рішення:
Використовуємо формулу по довжині боку, тобто S = 7 2 = 49 см 2 .
Завдання 2
Знайдіть площу квадрата, діагональ якого дорівнює 4 см.
Рішення 1:
Скористаємося другою формулою (по довжині діагоналі): S = 4 2 /2 = 8 см 2 .
Рішення 2:
Ми можемо висловити довжину сторони через діагональ: a = 4 / √ 2 . І тоді, використовуючи першу формулу, S = (4 / √ 2 ) 2 = 8 см 2 .
Площа квадрата – формули та приклади
Площа квадрата визначається як кількість квадратних одиниць, необхідних для заповнення його простору.
Загалом, площа визначається як зайнята область у межах двовимірної фігури. Вимірювання провадиться у квадратних одиницях, де стандартною одиницею є квадратні метри. Для обчислення площі фігури існують визначені формули, які ми можемо використати.
Тут ми дізнаємося про площу квадрата, дізнаємося про формулу обчислення площі квадрата і використовуватимемо її для розв’язання деяких прикладів.
Як знайти площу квадрата?
Площа – це простір, який займає об’єкт, тобто це область, яку займає будь-яка фігура.
Коли ми вимірюємо площу квадрата, ми враховуємо лише довжину однієї з його сторін, оскільки всі його сторони рівні. Тобто, щоб обчислити площу квадрата , зображеного на рисунку вище, необхідно піднести до квадрату довжину будь-якої його сторіни:
Давайте розглянемо, чому ця формула правильна. Для цього припустимо, що ми хочемо знайти площу квадрата зі стороною .
Використовуючи цей розмір, малюємо на папері квадрат із сіткою сантиметр. Зазначимо, що даний квадрат покриває 49 цих маленьких квадратів.
Отже, площа квадрата дорівнює , що можна записати як , тобто сторона × сторона. Отже, маємо, що площа квадрата дорівнює:
Зауваження: якщо позначити довжину однієї сторони квадрата буквою , то формула периметра квадрата перепишеться у більш звичній буквенній формі: .
Площа квадрата – приклади з відповідями.
Наступні приклади розв’язуються за допомогою описаної вище формули площі квадрата. Спробуйте розв’язати вправи самостійно, перш ніж дивитися на розв’язання.
Приклад 1: знайти площу квадрата зі стороною .
Отже, за умовою маємо, що довжина однієї сторони квадрата дорівнює . Використавши формулу площі із заданим значенням матимемо:
Таким чином, площа квадрата дорівнює .
Приклад 2: чому дорівнює площа квадрата зі стороною ?
Зазначимо, що у цьому випадку довжина однієї сторони квадрата дорівнює . Тому, замінивши у формулі площі заданим значенням отримаємо:
Отже, площа квадрата дорівнює .
Приклад 3: квадратна стіна має довжину сторін . Яка вартість фарбування стіни з розрахунку умовних одиниць за квадратний метр?
Отже, ми повинні розрахувати площу стіни, щоб знати, скільки квадратних метрів нам потрібно пофарбувати. Тому, використовуємо формулу з довжиною :
Таким чином, площа стіни дорівнює .
Якщо ціна рівна умовних одиниць за квадратний метр, то вартість фарбування стіни становитиме умовних одиниць.
Приклад 4: яка довжина сторін квадрата, площа якого дорівнює ?
Зазначимо, що у цьому випадку ми повинні обчислити довжину сторін, починаючи з площі. Отже, використовуючи ту ж формулу, підставляємо задане значення площі та знаходимо довжину :
Отже, довжина однієї сторони квадрата дорівнює .
Приклад 5: квадратну підлогу розміром необхідно покрити керамічною плиткою. Кожна плитка має розмір . Скільки плиток потрібно, щоб покрити підлогу?
Зазначимо, що в даному випадку, ми повинні знайти як площу підлоги, так і площу кожної плитки. Отже, Використавши формулу матимемо:
Звідси, площа підлоги становить , а площа кожної плитки – .
Таким чином, щоб покрити підлогу заданого розміру, нам знадобиться одиниць керамічної плитки.
Дивіться також:
Хочете дізнатися більше про квадрати? Перегляньте ці сторінки:
