Зовнішні кути многокутника – формула та приклади

Зовнішній кут многокутника – це кут, утворений однією його стороною і прилеглою розширеною стороною многокутника.

Сума зовнішніх кутів многокутника завжди дорівнює 360°. Отже, якщо багатокутник правильний, ми можемо розділити 360° на кількість сторін, щоб знайти міру зовнішнього кута багатокутника. Якщо багатокутник неправильний, нам потрібно використовувати інші методи, щоб знайти міри кожного кута.

Тут ми дізнаємося про зовнішні кути многокутника, у тому числі про те, як обчислити суму зовнішніх кутів многокутника, один зовнішній кут та розв’яжемо кілька прикладів.

Навігація по сторінці.

Сума зовнішніх кутів многокутника.

Сума зовнішніх кутів будь-якого багатокутника завжди дорівнює 360°. Ця властивість застосовується незалежно від того, правильний багатокутник чи неправильний.

До прикладу, на рисунку що міститься нижче, зображено зовнішні кути п’ятикутника ABCDE.

Неважко переконатися, що, якщо скласти їх разом, п’ять зовнішніх кутів утворять коло. Зазначимо, що це один повний оборот, тобто кут в 360°.

Тепер, давайте розглянемо шестикутник ABCDEF з його зовнішніми кутами.

Так само ми можемо спостерігати, що коли ми з’єднуємо зовнішні кути шестикутника, ми утворюємо кут в 360°.

Тобто, сума завжди дорівнює 360°. Це означає, що зі збільшенням числа сторін багатокутника розміри окремих зовнішніх кутів зменшуються.

Зовнішні кути правильного многокутника.

Правильний багатокутник – це геометрична фігура, у якої всі сторони однакової довжини та всі внутрішні кути однакової міри. Це означає, що всі його зовнішні кути також мають однакову міру.

Оскільки сума зовнішніх кутів будь-якого багатокутника завжди дорівнює 360°, ми можемо розділити її на кількість сторін, щоб отримати міру окремих його кутів.

Наприклад, для п’ятикутника ми повинні 360° розділити на 5:

Таким чином, кожен зовнішній кут у звичайному п’ятикутнику дорівнює 72°.

У наступній таблиці ми можемо побачити міри зовнішніх кутів деяких найпоширеніших правильних багатокутників.

Як визначити зовнішній кут неправильного многокутника?

Отже, ми можемо визначити міру відсутнього зовнішнього кута неправильного многокутника, якщо знаємо міри інших його зовнішніх кутів. Для цього нам потрібно додати всі відомі кути та відняти від 360°.

До прикладу, якщо у нас є зовнішні кути п’ятикутника з градусною мірою 60°, 70°, 80° і 85°, нам потрібно почати з визначення їх суми, а потім відняти її від 360°:

Таким чином, міра відсутнього кута – 65°.

Крім того, ми також можемо обчислити міру зовнішнього кута, якщо нам відома міра внутрішнього кута. Оскільки вони утворюють лінійну пару, то сума зовнішнього та прилеглого до нього внутрішнього кутів дорівнює 180°.

Отже, ми можемо відняти внутрішній кут від 180°, щоб знайти міру зовнішнього кута.

Наприклад, якщо внутрішні кути п’ятикутника дорівнюють 90°, 120°, 110°, 105° і 115°, ми повинні кожен кут відняти від 180°, щоб знайти відповідний йому зовнішній кут:

Таким чином, зовнішні кути п’ятикутника дорівнюють 90°, 60°, 70°, 75° і 65°.

Приклади задач та практичних запитань на тему «Зовнішні кути многокутника».

Приклад 1: що таке зовнішній кут многокутника?

Зовнішній кут многокутника – це кут, утворений однією стороною багатокутника і прилеглою розширеною його стороною. Сума зовнішніх кутів многокутника завжди дорівнює 360°.

Приклад 2: для шестикутника зображеного нижче, знайти міру відсутнього зовнішнього кута.

Зазначимо, що кути однакового кольору, позначені подвійною лінією мають однакову міру, тому γ=50°.

Щоб знайти міру кута β, нам потрібно додати міри відомих кутів і результат відняти від 360°. Отже, маємо:

Таким чином, другий з невідомих зовнішніх кутів многокутника дорівнює 55°.

Приклад 3: знайти міри зовнішніх кутів п’ятикутника.

У цьому випадку ми маємо вимірювання внутрішніх кутів. Тому, щоб знайти міру кожного зовнішнього кута, від 180° віднімаємо міру відповідного йому внутрішнього кута. В результаті, будемо мати:

Далі, щоб знайти міру відсутнього зовнішнього кута, ми повинні додати міри відомих зовнішніх кутів і відняти від 360°. Отже, маємо:

Таким чином, зовнішні кути многокутника дорівнюють 70, 60, 80, 90 і 60 градусів відповідно.

Приклад 4: визначте тип правильного многокутника, зовнішній кут якого дорівнює 120 градусів.

Отже, оскільки багатокутник правильний, то всі його внутрішні кути однакові. Крім того, усі його зовнішні кути також мають однакові розміри, тобто 120°.

Оскільки сума зовнішніх кутів многокутника дорівнює 360° і кожен з них дорівнює 120°, ми маємо, що кількість кутів багатокутника дорівнює 360°/120°=3.

Через те що багатокутник має 3 зовнішні кути, то він має 3 сторони. Отже, це рівносторонній трикутник.

Дивіться також:

Хочете дізнатися більше про кути многокутників? Перегляньте ці сторінки:

Розділ 4 МНОГОКУТНИКІВ. ПЛОЩІ МНОГОКУТНИКІВ

• навчитеся застосовувати вивчені поняття, властивості та формули до розв’язування задач.

§22. МНОГОКУТНИК І ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ. СУМА КУТІВ ОПУКЛОГО МНОГОКУТНИКА. МНОГОКУТНИК, ВПИСАНИЙ У КОЛО, І МНОГОКУТНИК, ОПИСАНИЙ НАВКОЛО КОЛА

Розглянемо фігуру A₁A₂A₃A₄A₅A₆, зображену на малюнку 213. Вона складається з відрізків A₁A₂, A₂A₃, AgA₄, A₄A₅, AgA₆ і A₆A₁. При цьому відрізки розміщені так, що сусідні (суміжні) відрізки AA₂і A₂A₃, A₂A₃ і A₃A₄, A₆A₁і A₁A₂) не лежать на одній прямій, а несусідні (несуміжні) відрізки не мають спільних точок. Таку фігуру називають многокутником. Точки A₁, A₂, …, A₆ називають вершинами многокутника, а відрізки A₁A₂, A₂A₃, … A₆A₁ – сторонами многокутника.

Очевидно, що кількість вершин многокутника дорівнює кількості його сторін.

Суму довжин усіх сторін многокутника називають його периметром.

Найменша кількість вершин (сторін) у многокутника – три. У цьому випадку маємо трикутник. Також окремим видом многокутника є чотирикутник.

Многокутник, що має n вершин, називають n-кутником. На малюнку 213 зображено шестикутник A₁A₂A₃A₄A₅A₆.

Дві сторони многокутника називають сусідніми, якщо вони мають спільну

вершину. Якщо сторони многокутника спільної вершини не мають, їх називають несусідніми. Так, наприклад, сторони A₁A₂ і A₁A₆ – сусідні, а A₁A₂ і A₄A₅ – несусідні (мал. 213).

Дві вершини многокутника називають сусідніми, якщо вони належать одній стороні, якщо ж вершини многокутника не належать одній стороні, їх називають несусідніми. Так, наприклад, вершини A₁ і A₂ – сусідні, A₃ і A₆ – несусідні (мал. 213).

Відрізок, який сполучає дві несусідні вершини многокутника, називають діагоналлю многокутника. На малюнку 214 зображено діагоналі многокутника A₁А₂A₃A₄A₅A₆A₇, що виходять з вершини; A₁:A₁A₃, A₁A₄, A₁A₅, A₁A₆.

Задача 1. Скільки діагоналей має n-кутник?

Р о з в’ я з а н н я. З кожної вершини n-кутника виходить (n – 3) діагоналі. Усіх вершин n, а кожна діагональ повторюється 2 рази, наприклад A₁A₃ і A₃A₁. Тому всіх діагоналей у n-кутнику буде .

В і д п о в і д ь. .

Якщо всі кути многокутника менші від розгорнутого кута, то многокутник називають опуклим, якщо хоча б один кут многокутника більший за розгорнутий, то многокутник називають неопуклим.

Т е о р е м а (про суму кутів опуклого n-кутника). Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180°(n – 2).

Д о в е д е н н я. Виберемо у внутрішній області многокутника довільну точку O і сполучимо її з усіма вершинами n-кутника (мал. 217). Одержимо n трикутників, сума всіх кутів яких дорівнює 180° ∙ n. Сума кутів з вершиною в точці O дорівнює 360°. Сума кутів даного n-кутника дорівнює сумі кутів усіх трикутників без кутів з вершиною в точці O, тобто:

180°n – 360° = 180°(n – 2).

Кути опуклого многокутника іноді називають ще його внутрішніми кутами. Кут, суміжний з внутрішнім кутом многокутника, називають зовнішнім кутом многокутника. На малюнку 218 кут A₃A₄K – зовнішній кут многокутника A₁A₂A₃A₄A₅ при вершині A₄.

Очевидно, що кожний многокутник має по два зовнішніх кути при кожній вершині.

Задача 2. Доведіть, що сума зовнішніх кутів будь-якого опуклого n-кутника, узятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°.

Р о з в’ я з а н н я. Сума внутрішнього й зовнішнього кутів при кожній вершині многокутника дорівнює 180°. Тому сума всіх внутрішніх і зовнішніх кутів n-кутника дорівнює 180° ∙ n. Оскільки сума внутрішніх кутів дорівнює 180°(n – 2), то сума зовнішніх кутів дорівнює:

180°n – 180°(n – 2) = 180°n – 180°n + 360° = 360°.

Многокутник називають вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на колі. Коло при цьому називають описаним навколо многокутника (мал. 219).

Навколо многокутника не завжди можна описати коло. Якщо ж це можна зробити, то центром такого кола є точка перетину серединних перпендикулярів до сторін многокутника (як і у випадку трикутника).

Многокутник називають описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до кола. Коло при цьому називають вписаним у многокутник (мал. 220).

Вписати коло можна не в кожний многокутник. Якщо ж це можна зробити, то центром такого кола є точка перетину бісектрис внутрішніх кутів многокутника (як і у випадку трикутника).

1. Яку фігуру називають многокутником?

2. Що називають вершинами, кутами, сторонами многокутника?

3. Що називають периметром многокутника?

4. Які сторони многокутника називають суміжними, які – несуміжними; які вершини – сусідніми, які – несусідніми?

5. Що називають діагоналлю многокутника?

6. Який многокутник називають опуклим, а який – неопуклим?

7. Сформулюйте і доведіть теорему про суму кутів опуклого n-кутника.

8. Що називають зовнішнім кутом опуклого многокутника?

9. Який многокутник називають вписаним у коло, а який – описаним навколо кола?

810. 1) Назвіть усі вершини, сторони, кути п’ятикутника ABCDE (мал. 221).

2) Назвіть деяку пару сусідніх сторін, несусідніх сторін.

3) Назвіть деяку пару сусідніх вершин, несусідніх вершин.

4) Чи є п’ятикутник опуклим?

811. Накресліть опуклий шестикутник ABCDEF. Запишіть усі його вершини, сторони і кути.

812. Накресліть опуклий семикутник. A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇ та проведіть у ньому всі діагоналі, що виходять з вершини A₅.

813. Накресліть будь-який неопуклий многокутник, у якого два кути більші за 180°.

814. Накресліть будь-який неопуклий п’ятикутник.

815. Знайдіть на малюнках 222-225 вписані та описані многокутники.

816. Накресліть коло та впишіть у нього п’ятикутник.

817. Накресліть коло та впишіть у нього будь-який многокутник.

818. Накресліть коло та опишіть навколо нього будь-який многокутник.

819. Накресліть коло та опишіть навколо нього шестикутник.

820. Обчисліть суму кутів опуклого n-кутника, якщо:

1) n = 12; 2) n = 18.

821. Обчисліть суму кутів опуклого n-кутника, якщо:

822. В опуклому дев’ятикутнику всі кути між собою рівні. Знайдіть ці кути.

823. В опуклому шестикутнику всі кути між собою рівні. Знайдіть ці кути.

824. (Усно.) Чи можна побудувати опуклий п’ятикутник, усі кути якого між собою рівні? Відповідь поясніть.

825. (Усно.) Чотири кути одного опуклого п’ятикутника відповідно дорівнюють чотирьом кутам другого опуклого п’ятикутника. Чи рівні між собою їх п’яті кути?

826. Чи може найменший кут опуклого п’ятикутника дорівнювати 110°?

827. Чи може найбільший кут опуклого шестикутника дорівнювати 115°?

828. Визначте кути опуклого шестикутника, якщо їх градусні міри відносяться як 3 : 4 : 5 : 5 : 6 : 7.

829. Знайдіть кути опуклого п’ятикутника, якщо кожен з них, починаючи з другого, більший за попередній на 10°.

830. Чи існує опуклий многокутник, у якого сума кутів дорівнює: 1) 1080°; 2) 2100°? Якщо так, то знайдіть, скільки в нього сторін і скільки діагоналей.

831. Чи існує опуклий многокутник, у якого сума кутів дорівнює: 1) 2500°; 2) 1260°? Якщо так, то знайдіть, скільки в нього вершин і скільки діагоналей.

832. Кожен із зовнішніх кутів многокутника дорівнює 30°. Знайдіть кількість його сторін.

833. Усі зовнішні кути многокутника – прямі. Визначте вид цього многокутника.

834. Чи існує многокутник, у якого кількість діагоналей дорівнює кількості сторін?

835. Сума внутрішніх кутів многокутника в 5 разів більша за суму його зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній вершині. Скільки вершин у многокутника?

836. Знайдіть кількість сторін опуклого многокутника, якщо сума його зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній вершині, на 1980° менша від суми внутрішніх кутів.

837. В опуклому п’ятикутнику ABCDE вершину B сполучено рівними між собою діагоналями з двома іншими вершинами. Відомо, що ∠BEA = ∠BDC, ∠ABE = ∠CBD. Порівняйте периметри чотирикутників ABDE і BEDC.

Вправи для повторення

838. AK і BM – висоти гострокутного трикутника ABC. Використовуючи подібність трикутників, доведіть, що AK ∙ BC = AC ∙ BM.

839. Навколо кола описано трапецію, периметр якої дорівнює P см. Знайдіть середню лінію цієї трапеції.

Розв’яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

840. Знайдіть площу прямокутника зі сторонами:

1) 5 см і 9 см; 2) 2,1 дм і 0,8 дм;

3) 7 см і 1 дм; 4) 4,1 дм і 0,32 м.

841. Знайдіть площу квадрата, сторона якого дорівнює:

1) 7 см; 2) 29 мм; 3) 4,5 мм; 4) м.

Цікаві задачі для учнів неледачих

842. (Національна олімпіада Бразилії, 1983 р.) Доведіть, що всі точки кола можна розбити на дві множини так, що серед вершин будь-якого вписаного в коло прямокутного трикутника знайдуться точки з обох множин.

Використовуючи сайт ви погоджуєтесь з правилами користування

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Ми приєднуємось до закону про авторське право в цифрову епоху DMCA прийнятим за основу взаємовідносин в площині вирішення питань авторських прав в мережі Інтернет. Тому підтримуємо загальновживаний механізм “повідомлення-видалення” для об’єктів авторського права і завжди йдемо на зустріч правовласникам.

Копіюючи матеріали во повинні узгодити можливість їх використання з авторами. Наш сайт не несе відподвідальність за копіювання матеріалів нашими користувачами.

Квадрат. Формули та властивості квадрата

Квадрат – це чотирикутник, у якого всі чотири сторони та кути однакові. Квадрати відрізняються між собою тільки довжиною сторони, але всі чотири кути у них прямі, тобто по 90°.

Основні властивості квадрату

Квадратом також можуть бути паралелограм, ромб або прямокутник якщо вони мають однакові довжини діагоналей, сторін та однакові кути.

1. Всі чотири сторони квадрата мають однакову довжину, тобто вони рівні:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Кожна діагональ квадрата ділить квадрат на дві однакові симетричні фігури

7. Діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом, і розділяють одна одну навпіл:

8. Точка перетину діагоналей називається центром квадрату і також є центром вписаного та описаного кола

9. Кожна діагональ ділить кут квадрату навпіл, тобто вони є бісектрисами кутів квадрату:

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°

10. Обидві діагоналі розділяють квадрат на чотири рівні трикутника, до того ж ці трикутники одночасно і рівнобедрені, і прямокутні:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

Діагональ квадрата

Діагоналлю квадрата називається будь-який відрізок, який сполучає дві вершини протилежних кутів квадрата.

Діагональ будь-якого квадрату завжди більша за його сторону в √ 2 раз.

Формули визначення довжини діагоналі квадрата

Периметр квадрата

Периметром квадрата називається сума довжин всіх сторін квадрату.

Формули визначення довжини периметра квадрата

Площа квадрата

Площею квадрата називається простір який обмежений сторонами квадрата, тобто в межах периметру квадрата.

Площа квадрата більша площі будь-якого чотирикутника з таким же периметром.

Формули площі квадрата

Коло, описане навколо квадрата

Колом, описаним навколо квадрата, називається таке коло, яке проходить тільки через чотири вершини кутів квадрата і має центр на перетині діагоналей квадрату.

Радіус кола, описаного навколо квадрата, завжди більший за радіус вписаного кола в √ 2 разів.

Радіус кола, описаного навколо квадрата, дорівнює половині діагоналі.

Площа круга, описаного навколо квадрата, більша площі того же квадрата в π/2 раз.

Формули визначення радіуса кола описаного навколо квадрата

1. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через сторону квадрата:
2. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через периметр квадрата:
3. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через площу квадрата:
4. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через діагональ квадрата:
5. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через діаметр описаного кола:
6. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через радіус вписаного кола:
7. формула радіуса кола описаного навколо квадрата через діаметр вписаного кола:
8. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через довжину відрізка l :

Коло, вписане в квадрат

Колом, вписаним в квадрат, називається коло, яке дотикається до середин сторін квадрата і має центр на перетині діагоналей квадрата.

Радіус вписаного кола дорівнює половині сторони квадрата.

Площа круга, вписаного в квадрат, менша площі квадрата в 4/π рази.

Формули визначення радіуса кола, вписаного в квадрат

1. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через сторону квадрата:
2. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через діагональ квадрата:
3. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через периметр квадрата:
4. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через площу квадрата:
5. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через радіус описаного кола:
6. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через діаметр описаного кола:
7 формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через діаметр вписаного кола:
8. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через довжину відрізка l :

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

© 2011-2024 Довжик Михайло
Копіювання матеріалів з сайту заборонено.

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]