Скільки пар паралельних сторін куба

2024
Українцям

Куб. Формули, ознаки та властивості куба

Куб (гексаедр) — це тривимірна фігура, яка складається з шести днакових квадратів так, що кожен квадрат повністю дотикається своїми чотирма сторонами до сторін інших чотирьох квадратів під прямим кутом. Куб є правильним багатогранником у якого грані утворені з квадратів. Також кубом можна назвати прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні.

– кожна грань куба перетинається з чотирма іншими гранями під прямим кутом та паралельна шостій грані;

Означення. Вершина куба – це найвіддаленіша точка від центру куба, яка лежить на перетині трьох граней куба.

Означення. Вісь куба ( i ) – це пряма, яка проходить через центр куба та цетри двох паралельних граней куба.

Означення. Діагональ куба ( d 1) – відрізок, який з’єднує протилежні вершини куба та проходить через центр куба.

Означення. Діагональ грані куба ( d 2) – відрізок, який з’єднує протилежні кути грані куба та проходить через центр грані куба.

Означення. Сферою вписаною в куб називається сфера, яка має центр спільний з центром куба та дотикається до центрів граней куба.

Означення. Сферою описаною навколо куба називається сфера, яка має центр спільний з центром куба та дотикається до восьми вершин куба.

Властивості куба

1. В куб можна вписати тетраедр так, щоб всі чотири вершини тетраедра лежали на чотирьох вершинах куба, а всі шість ребер тетраедра лежатимуть на шести гранях куба і ребра будуть рівні діагоналі грані куба.

Координати вершин куба

1. Координати вершин куба зі стороною a та вершиною D у початку декартової системи координат так, що ребра цієї вершини лежать на вісях координат:

A( a , 0, 0), B( a , a , 0), C(0, a , 0), D(0, 0, 0),
E( a , 0, a ), F( a , a , a ), G(0, a , a ), H(0, 0, a ).

2. Координати вершин куба з довжиною сторони 2 a , у якого центр куба розташований в початку декартової системи координат так, що ребра куба паралельні вісям координат:

A( a , – a , – a ), B( a , a , – a ), C(- a , a , – a ), D(- a , – a , – a ),
E( a , – a , a ), F( a , a , a ), G(- a , a , a ), H(- a , – a , a ).

Перетин куба площиною

1. Якщо перетнути куб площиною, яка проходить через центр куба та центри двох протилежних граней, то в перерізі буде квадрат довжина сторони, якого буде дорівнювати довжені ребра куба. Ця площина ділить куб два рівних прямокутних паралелепіпеда.

2. Якщо перетнути куб з ребром a площиною, яка проходить через центр куба та два паралельних ребра, то в перерізі буде прямокутник зі сторонами a і a √ 2 , площею перерізу a 2 √ 2 . Ця площина ділить куб дві рівні призми.

3. Якщо перетнути куб площиною, яка проходить через центр та середини шести граней, то в перерізі буде правильний шестикутник зі стороною a √ 2 /2, площею перерізу a 2 (3√ 3 )/4. У куба одна з діагоналей (FC) кожної грані, що перерізаються, перпендикулярна до сторони шестикутника.

4. Якщо перетнути куб площиною, яка проходить через три вершини куба, то в перерізі буде правильний трикутник зі стороною a √ 2 , площею перерізу a 2 √ 3 /2 та об’ємом більшої частини – 5 a 3 /6 та меншої – a 3 /6. Одна з діагоналей куба (EC) перпендикулярна до площини перерізу та проходить через центр трикутника (M) та ділиться площиною в выдношенні MC:EМ = 2:1.

Тематичне оцінювання “Прямі і площини в просторі”

1. Яка б не була площина, існують …, які належать цій площині, і точки, які … … їй.

2. Дві прямі в просторі називаються мимобіжними, якщо вони … … в одній площині.

3. Якщо дві паралельні площини перетинаються … …, то прямі перетину … .

4. Відстань від точки до прямої – це …

а) перетинаються; б) мимобіжні; в) паралельні.

  1. Чи правильно, якщо дві прямі не мають спільної точки і не лежать в одній площині, то вони мимобіжні?

а) так; б) ні; в) інша відповідь.

а) так; б) ні; в) інша відповідь.

1) назвати ребра куба, мимобіжні до ребра АС;

2) назвати ребра куба, перпендикулярні до ребра ВС;

3) назвати площину, паралельну площині АА 1 В 1 В;

4) обчислити відстань між прямими АА 1 і DD 1 ;

5) обчислити відстань між площинами АВС і А 1 С 1 D 1 .

  1. Дано зображення куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точка М – середина ребра АА 1 . Побудувати точку перетину прямої МВ з площиною A 1 B 1 C 1.
  2. З точки до площини проведені перпендикуляр довжиною 9см і похила довжиною 11см. Знайти довжину проекції цієї похилої на площину.
  3. У трикутнику АВС кут С=90 0 , АС=9см, ВС=12см, М – середина ВА. Пряма DС перпендикулярна площині АВС, DС=18см. Знайти DМ.
  4. Побудувати переріз куба площиною, що проходить через задані точки P , R та M :

ТА « ПРЯМІ І ПЛОЩИНИ В ПРОСТОРІ » ВАРІАНТ 2

Заповнити пропуски в тексті:

1. Якщо дві різні прямі мають спільну …, то через них можна провести …, і до того ж тільки … .

2. Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони … в одній площині й не … .

3. Через точку поза площиною можна провести площину, … даній, і до того ж тільки … .

4. Відстань між мимобіжними прямими називають …

а) не лежать на одній прямій; б) лежать на одній прямій; в) інша відповідь.

а) так; б) ні ; в) інша відповідь.

а) одна; б) дві; в) чотири; г) інша відповідь.

а) так; б) ні; в) інша відповідь.

а) так; б) ні; в) інша відповідь.

1) назвати ребра куба, мимобіжні до ребра С 1 С;

2) назвати ребра куба, перпендикулярні до ребра ВС;

3) назвати площину, паралельну площині А 1 В 1 С 1 D 1 ;

4) обчислити відстань між прямими ВВ 1 і СС 1 ;

5) обчислити відстань між площинами АА 1 В 1 і D 1 DC .

  1. Дано зображення куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точка М – середина ребра АА 1 . Побудувати точку перетину прямої МD з площиною A 1 B 1 C 1.
  2. Точка віддалена від площини на 7. Знайти довжину похилої, проведеної з точки під кутом 30 0 до площини.
  3. До площини прямокутного трикутника АВС (кут С=90 0 ) проведено перпендикуляр DА. Знайти відстань від точки D до точки В, якщо ВС= 12 см , DС= 15 см .
  4. Побудувати переріз куба площиною, що проходить через задані точки P , R та M :

ТА « ПРЯМІ І ПЛОЩИНИ В ПРОСТОРІ » ВАРІАНТ 3

Заповнити пропуски в тексті:

1. Через пряму і …, яка не лежить на ній, можна провести …, і до того ж тільки … .

2. Дві прямі, … третій … .

3. Дві площини називаються …, якщо вони не перетинаються.

4. Відстань між мимобіжними прямими дорівнює відстані між …

а) одну ; б) дві; в) три; г) жодної.

а) жодної; б) безліч; в) одну; г) інша відповідь.

а) так; б) ні; в) інша відповідь.

а) одна; б) дві; б) три; в) чотири.

а) так; б) ні; в) інша відповідь.

а) так; б) ні; в) інша відповідь.

1) назвати ребра куба, паралельні до ребра С 1 С;

2) назвати ребра куба, перпендикулярні до ребра AD ;

3) назвати площину, паралельну площині СС 1 В 1 В;

4) обчислити відстань між прямими DD 1 і СС 1 ;

5) обчислити відстань між площинами АА 1 D 1 і СС 1 В 1 .

  1. Дано зображення куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точка М – середина ребра АА 1 . Побудувати точку перетину прямої МВ з площиною A 1 B 1 C 1.
  2. З точки до площини проведено перпендикуляр і похилу. Довжина похилої дорівнює 8 см, а кут між нею і перпендикуляром дорівнює 60 0 . Знайти довжини перпендикуляр а та проекції похилої.
  3. Через вершину С трикутника АВС до його площини проведено перпендикуляр КС. Пряма, яка проходить через точку К і середину АВ, перпендикулярна прямій АВ. Довести, що трикутник АВС – рівнобедрений.
  4. Побудувати переріз куба площиною, що проходить через задані точки P , R та M :

admin

You May Also Like

Your copyright text here !