1. Комбінації
Комбінацією з \(n\) елементів по \(m\) елементів m ≤ n називається вибірка \(m\) елементів із даної невпорядкованої множини.
Кількість комбінацій позначається C n m (читається: комбінації з \(n\) по \(m\)).
Комбінації обчислюються за формулою:
C n m = n ! m ! ( n − m ) !
\(a)\) скількома способами можна вибрати \(2\) з них, якщо порядок неважливий?
Це можна зробити \(3\) способами: , , — за формулою C 3 2 = 3 ! 2 ! ⋅ 3 − 2 ! = 3 ⋅ 2 ! 2 ! ⋅ 1 ! = 3 \(.\)
\(b)\) скількома способами можна вибрати \(1\) елемент, якщо порядок неважливий?
Це також можна зробити \(3\) способами: , , — за формулою C 3 1 = 3 ! 1 ! ⋅ 3 − 1 ! = 3 ⋅ 2 ! 1 ! ⋅ 2 ! = 3 \(.\)
Оскільки порядок вибору учнів неважливий, потрібно обчислити комбінації по \(3\) елементи з \(12\) елементів, тобто \(n = 12\) і \(m = 3.\)
C 12 3 = 12 ! 3 ! ( 12 − 3 ) ! = 12 ! 3 ! ⋅ 9 ! = 9 ! ⋅ 10 ⋅ 11 ⋅ 12 3 ! ⋅ 9 ! = 10 ⋅ 11 ⋅ 12 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 1320 6 = 220
Відповідь: трьох учнів із \(12\) можна вибрати \(220\) різними способами.
\(3.\) Із \(6\) людей (\(2\) жінки та \(4\) чоловіка) потрібно вибрати \(1\) жінку і \(2\) чоловіка. Скількома способами це можна зробити?
Оскільки порядок вибору неважливий (зрештою команда буде тією самою), потрібно обчислити, скількома способами з \(2\) жінок можна вибрати \(1,\) а з \(4\) чоловіків — двох.
Елементи комбінаторики
Скільки парних п’ятизначних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4 так, щоб усі числа були різними?
♦ Парними будуть числа, що закінчуються на 0, 2, 4. Кількість чисел, які закінчуються нулем дорівнює числу перестановок з чотирьох цифр (1, 2, 3, 4), тобто Р 4 .
Числа, що закінчуються на 2, утворюються із цифр 0, 1, 3, 4 їх різноманітними перестановками, кількість яких Р4. Проте цифра нуль не може стояти на першому місці. Тому з Р4 вилучаєсо кількість чисел які утворюються із цифр 1, 3 та 4, тобто Р3.
Аналогічно можна знайти кількість числе, що закінчуються на 4.
Отже, всього парних п’ятизначних чисел можна утворити n = 3 Р4 – 2 Р3 = 3·4! – 2·3! = 60.♦
Приклад
Команда з “Клубу знавців” у складі шести осіб займає місця за круглим столом. Скільки є можливих варіантів розміщення гравців? Скільки таких варіантів у випадку, коли два провідних члени команди повинні сісти поруч?
♦ У першому випадку кількість способів розміщення гравців дорівнює числу перестановок з 6 елементів, тобо Р 6 = 6! = 720. У другому випадку для двох виділених осіб є шість різних сусідніх пар місць, на кожному з яких ці дві особи можуть сісти двома способами (один біля одного ліворуч або праворуч). Отже, посадити їх можна 12 способами. На місця, що залишаться, решту членів команди можна розсадити Р 4 способами. За правилом добутку дістаємо кількість усіх варіантів розміщень: 12·4!=288.♦
Приклад
У шаховому турнірі, де учасники зустрічаються між собою один раз, три шахісти вибули через хворобу, зігравши відповідно одну, дві та три партії з учасниками, що залишились у турнірі. Скільки шахістів розпочали турнір, якщо всього було зіграно 84 партії.
♦ Позначимо через n число учасників турніру. Оскільки три з них вибуло, зігравши в сумі 1 + 2 + 3 = 6 партій, то в останніх 84 – 6 = 78 партіях взяло участь n – 3 учасники. Отже, , тобто , або , звідки дістаємо один додатний корінь n = 16. ♦
Приклад
Студенти одного з курсів вивчають 8 навчальних дисциплін. Скількома способами можна скласти розклад занять на понеділок, якщо в цей день треба запаланувати три лекції з різних предметів?
♦ Кількість таких способів дорівнює числу розміщень з 8 елементів по 3, тобто .♦
Приклад
♦ а) Користуючись формулою
