Зміст:
1.3.2: Розділення цілих чисел і додатків
Деякі люди думають про поділ як «чесний обмін», тому що коли ви ділите число, ви намагаєтеся створити рівні частини. Ділення – це також обернена операція множення, оскільки воно «скасовує» множення. У множенні ви об’єднаєте рівні множини, щоб створити загальну кількість. У розділі ви розділяєте цілу групу на набори, які мають однакову суму. Наприклад, ви можете використовувати поділ, щоб визначити, як поділитися 40 емпанадами серед 12 гостей на вечірці.
Що таке поділ?
Поділ – це розщеплення на рівні частини або групи. Наприклад, можна використовувати поділ, щоб визначити, як рівномірно розділити тарілку печива між групою. Якщо є 15 файлів cookie, якими можна поділитися між п’ятьма людьми, ви можете розділити 15 на 5, щоб знайти «справедливу частку», яку отримає кожна людина. Розглянемо малюнок нижче.
15 печиво, розділене рівномірно по 5 пластин, призводить до 3 печива на кожній тарілці. Ви можете уявити цю ситуацію за допомогою рівняння:
Ви також можете використовувати числовий рядок для моделювання цього поділу. Подібно до того, як ви можете думати про множення як повторне додавання, ви можете думати про поділ як повторне віднімання. Розглянемо, скільки стрибків ви приймаєте на 5s, коли ви рухаєтеся від 15 назад до 0 на числовій лінії.
Зверніть увагу, що є 3 стрибки, які ви робите, коли ви пропускаєте підрахунок на 5 з 15 назад до 0 на цифровому рядку. Це як віднімання 5 з 15 три рази. Це повторне віднімання можна представити рівнянням: \(\ 15 \div 5=3\) .
Нарешті, розглянемо, як модель площі може показати цей поділ. Запитайте себе, якби ви зробили прямокутник, який містив 15 квадратів з 5 квадратами поспіль, скільки рядків було б у прямокутник? Почніть з виготовлення одного ряду з 5 квадратів:
Потім додайте ще два ряди по 5 квадратів, щоб у вас було 15 квадратів.
Кількість рядів – 3. Отже, 15 ділиться на 5 дорівнює 3.
Приклад
Знайти \(\ 24 \div 3\) за допомогою встановленої моделі і моделі номерного рядка.
Рішення
1.9: Розділити цілі числа (частина 1)
Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.
- Помножити: \(27 • 3\) . Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.4.6.
- Відніміть: \(43 − 26\) . Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.3.4.
- Помножити: \(62(87)\) . Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.4.8.
Використовувати позначення поділу
Поки що ми досліджували додавання, віднімання та множення. Тепер розглянемо поділ. Припустимо, у вас є \(12\) печиво на малюнку \(\PageIndex\) і хочете упакувати їх в пакети з \(4\) печивом в кожному пакетику. Скільки сумок нам знадобиться?
Малюнок \(\PageIndex\)
Ви можете покласти \(4\) печиво в перший мішок, \(4\) у другий мішок, і так далі, поки у вас не закінчиться печиво. Роблячи це таким чином, ви б заповнили \(3\) мішки.
Іншими словами, починаючи з \(12\) файлів cookie, ви б забирали або віднімали \(4\) файли cookie за один раз. Ділення – це спосіб представлення повторного віднімання так само, як множення являє собою повторне додавання. Замість того, щоб віднімати \(4\) неодноразово, ми можемо написати
\[12 \div 4 \nonumber \]
Ми читаємо це як дванадцять розділених на чотири, і результат є часткою \(12\) і \(4\) . Частота полягає в \(3\) тому, що ми можемо відняти \(12\) точно \(4\) від \(3\) часу. Число ділиться ми називаємо дивідендом, а число, що ділить його дільником. У цьому випадку дивіденд є, \(12\) а дільник – \(4\) . У минулому ви, можливо, використовували позначення \(4 \overline<\smash<)>12>\) , але цей поділ також може бути записаний як \(12 ÷ 4\) , \(12/4\) , \(\dfrac\) . У кожному випадку \(12\) це дивіденд, \(4\) а дільник.
Операція Символи для поділу
Для представлення і опису поділу ми можемо використовувати символи і слова.
| Операція | Позначення | Вираз | Читати як | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Відділ | ÷ | 12 ÷ 4 | Дванадцять розділених на чотири | частка 12 і 4 |
| \(\dfrac\) | \(\dfrac\) | |||
| \(b \overline<)a>\) | \(4 \overline<\smash<)>12>\) | |||
| а/б | 12/4 |
Розподіл виконується на два числа одночасно. При перекладі з математичних позначень на англійські слова, або англійські слова на математичні позначення, шукайте слова і і для ідентифікації чисел.
Приклад \(\PageIndex\) : translate
Перекладіть з математичних позначень на слова.
Рішення
- Ми читаємо це як шістдесят чотири розділені на вісім, і результат – частка шістдесят чотири і вісім.
- Ми читаємо це як сорок два, розділені на сім, і результат – частка сорока двох і семи.
- Ми читаємо це як двадцять вісім, розділених на чотири, і результат – частка двадцяти восьми і чотирьох.
вправа \(\PageIndex\)
Перекласти з математичних позначень на слова:
вісімдесят чотири розділені на сім; частка вісімдесят чотири і сім
вісімнадцять ділиться на шість; частка вісімнадцять і шість.
двадцять чотири ділиться на вісім; частка двадцять чотири і вісім
вправа \(\PageIndex\)
Перекласти з математичних позначень на слова:
сімдесят два ділиться на дев’ять; частка сімдесят два і дев’ять
двадцять один розділений на три; частка двадцять один і три
п’ятдесят чотири ділиться на шість; частка п’ятдесят чотири і шість
Модель поділу цілих чисел
Як ми робили з множенням, ми будемо моделювати ділення за допомогою лічильників. Операція поділу допомагає нам організувати предмети в рівні групи, оскільки ми починаємо з кількості елементів у дивіденді та віднімаємо число у дільнику повторно.
Приклад \(\PageIndex\) : model
Модель поділу: \(24 ÷ 8\) .
Рішення
Щоб знайти частку \(24 ÷ 8\) , ми хочемо знати, скільки груп \(8\) знаходяться в \(24\) .
Змоделюйте дивіденди. Почніть з \(24\) лічильників.
Дільник повідомить нам кількість лічильників, які ми хочемо в кожній групі. Формують групи \(8\) лічильників.
Підрахуйте кількість груп. Існують \(3\) групи.
\[24 \div 8 = 3 \nonumber\]
вправа \(\PageIndex\)
вправа \(\PageIndex\)
Розділити цілі числа
Ми сказали, що додавання та віднімання є оберненими операціями, оскільки одна скасовує іншу. Аналогічно ділення – це зворотна операція множення. Ми знаємо \(12 ÷ 4 = 3\) тому, що \(3 • 4 = 12\) . Знання всіх фактів множення чисел дуже важливо при діленні.
Ми перевіряємо нашу відповідь на ділення, множивши частку на дільник, щоб визначити, чи дорівнює він дивіденду. У прикладі \(\PageIndex\) , ми знаємо, що \(24 ÷ 8 = 3\) це правильно, тому що \(3 • 8 = 24\) .
Приклад \(\PageIndex\) : divide
Розділити. Потім перевірте, перемноживши.
Рішення
| Розділіть 42 на 6. | 42 ÷ 6 = 7 |
| Перевірка шляхом множення. | 7 • 6 = 42 ✓ |
| Розділіть 63 на 7. | \(7 \overline<\smash<)>63>\) |
| Перевірка шляхом множення. | 9 • 7 = 63 ✓ |
вправа \(\PageIndex\)
Розділити. Потім перевірте, перемноживши:
вправа \(\PageIndex\)
Розділити. Потім перевірте, перемноживши:
Який коефіцієнт при діленні числа сам по собі?
\[\dfrac = 1 \quad \text \quad 1 \cdot 15 = 15 \nonumber \]
Поділ будь-якого числа (крім \(0\) ) сам по собі дає частку \(1\) . Крім того, будь-яке число, розділене на, \(1\) дає частку від числа. Ці дві ідеї викладені в розділі Властивості одного.
Властивості поділу одного
| Будь-яке число (крім 0), розділене саме по собі, дорівнює одиниці. | а ÷ а = 1 |
| Будь-яке число, розділене на одиницю, є однаковим числом. | а ÷ 1 = а |
Приклад \(\PageIndex\) : divide
Розділити. Потім перевірте, перемноживши:
Рішення
| Число, розділене саме по собі, дорівнює 1. | 11 ÷ 11 = 1 |
| Перевірка шляхом множення. | 1 • 11 = 11 ✓ |
| Число, поділене на 1, дорівнює самому собі. | \(\dfrac = 19\) |
| Перевірка шляхом множення. | 19 • 1 = 19 ✓ |
| Число, поділене на 1, дорівнює самому собі. | \(1 \overline<\smash<)>7> = 7\) |
| Перевірка шляхом множення. | 7 • 1 = 7 ✓ |
вправа \(\PageIndex\)
Розділити. Потім перевірте, перемноживши:
вправа \(\PageIndex\)
Розділити. Потім перевірте, перемноживши:
Припустимо \($0\) , у нас є, і хочемо розділити його між \(3\) людьми. Скільки отримає кожна людина? Кожна людина отримає \($0\) . Нуль ділиться на будь-яке число \(0\) .
Тепер припустимо, що ми хочемо розділити \($10\) на \(0\) . Це означає, що ми хотіли б знайти число, на яке ми помножимо, \(0\) щоб отримати \(10\) . Це не може статися, тому що \(0\) раз є будь-яке число \(0\) . Розподіл на нуль, як кажуть, не визначено.
Ці дві ідеї складають властивості поділу нуля.
Властивості поділу нуля
| Нуль ділиться на будь-яке число дорівнює 0. | 0 ÷ а = 0 |
| Ділення числа на нуль не визначено. | a ÷ 0 = невизначено |
Ще один спосіб пояснити, чому ділення на нуль не визначено, – це пам’ятати, що ділення – це дійсно повторне віднімання. Скільки разів ми можемо забрати \(0\) \(10\) ? Оскільки віднімання \(0\) ніколи не змінить загальну суму, ми ніколи не отримаємо відповіді. Таким чином, ми не можемо розділити число на \(0\) .
Приклад \(\PageIndex\) : divide
Розділити. Перевірте, перемноживши:
Рішення
| Нуль, ділений на будь-яке число, дорівнює нулю. | 0 ÷ 3 = 0 |
| Перевірка шляхом множення. | 0 • 3 = 0 ✓ |
вправа \(\PageIndex\)
Розділити. Потім перевірте, перемноживши:
вправа \(\PageIndex\)
Розділити. Потім перевірте, перемноживши:
Коли дільник або дивіденд має більше однієї цифри, зазвичай простіше використовувати \(4 \overline<\smash<)>12>\) позначення. Цей процес називається довгим діленням. Давайте попрацюємо над процесом, \(78\) розділивши на \(3\) .
| Ділимо першу цифру дивіденду, 7, на дільник, 3. |
| Дільник 3 може йти в 7 два рази, так як 2 × 3 = 6. Напишіть 2 над 7 у частці. |
| Помножте 2 в частку на 3 і напишіть твір, 6, під 7. |
| Відніміть цей продукт від першої цифри в дивіденді. Відніміть 7 − 6. Напишіть різницю, 1, під першою цифрою в дивіденді. |
| Збиваємо наступну цифру дивідендів. Збиваємо 8. |
| Розділіть 18 на дільник, 3. Дільник 3 переходить в 18 шість разів. |
| Напишіть 6 у частці над 8. |
| Помножте 6 в частку на дільник і запишіть добуток, 18, під дивідендом. Відніміть 18 з 18. |
Ми б повторювали процес, поки не буде більше цифр у дивідендах, щоб збити. У цій задачі більше немає цифр, щоб збити, тому поділ закінчено. Отже \(78 ÷ 3 = 26\) .
Перевірте, множивши частку на дільник, щоб отримати дивіденд. Помножте, \(26 × 3\) щоб переконатися, що продукт дорівнює дивідендам, \(78\) .
Це так, тому наша відповідь правильна.
ЯК: РОЗДІЛИТИ ЦІЛІ ЧИСЛА.
Крок 1. Ділимо першу цифру дивіденду на дільник. Якщо дільник більше першої цифри дивіденда, розділіть перші дві цифри дивіденду на дільник і так далі.
Крок 2. Напишіть коефіцієнт вище дивідендів.
Крок 3. Помножте частку на дільник і запишіть добуток під дивідендом.
Крок 4. Відніміть цей продукт із дивідендів.
Крок 5. Збиваємо наступну цифру дивідендів.
Крок 6. Повторюйте з кроку 1, поки не буде більше цифр у дивіденді, щоб збити.
Крок 7. Перевірте, множивши частку на дільник.
Приклад \(\PageIndex\) : divide
Розділити \(2,596 ÷ 4\) . Перевірка шляхом множення.
Рішення
| Давайте перепишемо проблему, щоб налаштувати її на довгий поділ. |
| Ділимо першу цифру дивіденду, 2, на дільник, 4. |
| Так як 4 не переходить в 2, використовуємо перші дві цифри дивіденду і ділимо 25 на 4. Дільник 4 переходить в 25 шість разів. |
| Ми пишемо 6 в частці вище 5. |
| Помножте 6 в частку на дільник 4 і напишіть добуток, 24, під першими двома цифрами в дивіденді. |
| Відніміть цей твір з перших двох цифр у дивіденді. Відніміть 25 − 24. Запишіть різницю, 1, під другою цифрою в дивіденді. |
| Тепер збиваємо 9 і повторюємо ці дії. Є 4 четвереньки в 19. Напишіть 4 над 9. Помножте 4 на 4 і відніміть цей твір з 19. |
| Збийте 6 і повторіть ці дії. Є 9 четвірки в 36. Напишіть 9 над 6. Помножте 9 на 4 і відніміть цей твір з 36. |
| Перевірка шляхом множення. |
Він дорівнює дивідендам, тому наша відповідь правильна. Отже \(2,596 ÷ 4 = 649\) .
вправа \(\PageIndex\)
Розділити. Потім перевірте, перемноживши: \(2,636 ÷ 4\) .
вправа \(\PageIndex\)
Розділити. Потім перевірте, перемноживши: \(2,716 ÷ 4\) .
Приклад \(\PageIndex\) : divide
Розділити \(4,506 ÷ 6\) . Перевірка шляхом множення.
Рішення
| Давайте перепишемо проблему, щоб налаштувати її на довгий поділ. |
| Спочатку спробуємо розділити 6 на 4. |
| Так як це не буде працювати, ми намагаємося 6 в 45. Є 7 шісток в 45. Пишемо 7 над 5 |
| Помножте 7 на 6 і відніміть цей твір з 45. |
| Тепер збийте 0 і повторіть ці дії. Є 5 шісток в 30. Напишіть 5 над 0. Помножте 5 на 6 і відніміть цей твір з 30. |
| Тепер збиваємо 6 і повторюємо ці дії. Є 1 шість в 6. Напишіть 1 над 6. Помножте 1 на 6 і відніміть цей твір з 6. |
| Перевірка шляхом множення. |
Він дорівнює дивідендам, тому наша відповідь правильна.
вправа \(\PageIndex\)
Розділити. Потім перевірте, перемноживши: \(4,305 ÷ 5\) .
вправа \(\PageIndex\)
Розділити. Потім перевірте, перемноживши: \(3,906 ÷ 6\) .
Приклад \(\PageIndex\) : divide
Розділити \(7,263 ÷ 9\) . Перевірка шляхом множення.
Рішення
| Давайте перепишемо проблему, щоб налаштувати її на довгий поділ. |
| Спочатку спробуємо розділити 9 на 7. |
| Так як це не буде працювати, ми намагаємося 9 в 72. У 72 налічується 8 дев’яток. Ми пишемо 8 над 2. |
| Помножте 8 на 9 і відніміть цей твір з 72. |
| Тепер збиваємо 6 і повторюємо ці дії. Всього 0 дев’яток в 6. Напишіть 0 над 6. Помножте 0 на 9 і відніміть цей твір з 6. |
| Тепер збийте 3 і повторіть ці дії. У 63 налічується 7 дев’яток. Напишіть 7 над 3. Помножте 7 на 9 і відніміть цей твір з 63. |
| Перевірка шляхом множення. |
Він дорівнює дивідендам, тому наша відповідь правильна.
вправа \(\PageIndex\)
Розділити. Потім перевірте, перемноживши: \(4,928 ÷ 7\) .
вправа \(\PageIndex\)
Розділити. Потім перевірте, перемноживши: \(5,663 ÷ 7\) .
Поки що всі проблеми поділу опрацьовані рівномірно. Наприклад, якби ми мали \(24\) печиво і хотіли зробити мішки з \(8\) печивом, у нас були б \(3\) мішки. Але що робити, якщо було \(28\) печиво, і ми хотіли зробити мішки \(8\) ? Почніть з \(28\) печива, як показано на малюнку \(\PageIndex\) .
Спробуйте скласти печиво групами по вісім, як на малюнку \(\PageIndex\) .
Є \(3\) групи по вісім файлів cookie, а \(4\) печиво залишилося. Ми називаємо \(4\) файли cookie, які залишилися над рештою і показуємо його, написавши \(R4\) поруч з \(3\) . ( \(R\) Стенди для залишку.)
Для перевірки цього ділення множимо \(3\) раз \(24\) , \(8\) щоб отримати, а потім складаємо залишок \(4\) .
Приклад \(\PageIndex\) : divide
Розділити \(1,439 ÷ 4\) . Перевірка шляхом множення.
Рішення
| Давайте перепишемо проблему, щоб налаштувати її на довгий поділ. |
| Спочатку намагаємося розділити 4 на 1. Оскільки це не спрацює, ми намагаємося 4 в 14. Є 3 четвереньки в 14. Пишемо 3 над 4. |
| Помножте 3 на 4 і відніміть цей твір з 14. |
| Тепер збийте 3 і повторіть ці дії. Є 5 четвірки в 23. Напишіть 5 над 3. Помножте 5 на 4 і відніміть цей твір з 23. |
| Тепер збиваємо 9 і повторюємо ці дії. Є 9 четвірки в 39. Напишіть 9 над 9. Помножте 9 на 4 і відніміть цей твір з 39. Немає більше цифр, щоб збити, тому ми закінчили. Залишок – 3. |
| Перевірка шляхом множення. |
Так \(1,439 ÷ 4\) само і \(359\) з залишком \(3\) . Наша відповідь правильна.
вправа \(\PageIndex\)
Розділити. Потім перевірте, перемноживши: \(3,812 ÷ 8\) .
\(476\) з залишком \(4\)
вправа \(\PageIndex\)
Розділити. Потім перевірте, перемноживши: \(4,319 ÷ 8\) .
\(539\) з залишком \(7\)
Приклад \(\PageIndex\) : divide
Розділіть, а потім перевірте, множивши: \(1,461 ÷ 13\) .
Рішення
| Давайте перепишемо проблему, щоб налаштувати її на довгий поділ. |
| Спочатку спробуємо розділити 13 на 1. Оскільки це не спрацює, ми намагаємося 13 в 14. Є 1 тринадцять з 14. Пишемо 1 над 4. |
| Помножте 1 на 13 і відніміть цей твір з 14. |
| Тепер збиваємо 6 і повторюємо ці дії. Є 1 тринадцять з 16. Напишіть 1 над 6. Помножте 1 на 13 і відніміть цей твір з 16. |
| Тепер збийте 1 і повторіть ці дії. Є 2 тринадцять в 31. Напишіть 2 над 1. Помножте 2 на 13 і відніміть цей твір з 31. Немає більше цифр, щоб збити, тому ми закінчили. Залишок 5. 1,462 ÷ 13 дорівнює 112 з залишком 5. |
| Перевірка шляхом множення. |
Наша відповідь правильна.
вправа \(\PageIndex\)
Розділити. Потім перевірте, перемноживши: \(1,493 ÷ 13\) .
вправа \(\PageIndex\)
Розділити. Потім перевірте, перемноживши: \(1,461 ÷ 12\) .
Приклад \(\PageIndex\) : divide
Ділимо і перевіряємо множенням: \(74,521 ÷ 241\) .
Рішення
| Давайте перепишемо проблему, щоб налаштувати її на довгий поділ. |
| Спочатку спробуємо розділити 241 на 7. Оскільки це не спрацює, ми намагаємося 241 в 74. Це все ще не буде працювати, тому ми намагаємося 241 в 745. Так як 2 ділиться на 7 три рази, пробуємо 3. Оскільки 3 × 241 = 723, ми пишемо 3 над 5 в 745. Зверніть увагу, що 4 були б занадто великими, оскільки 4 × 241 = 964, що більше 745. |
| Помножте 3 на 241 і відніміть цей твір з 745. |
| Тепер збиваємо 2 і повторюємо ці дії. 241 не ділиться на 222. Ми пишемо 0 над 2 як заповнювач, а потім продовжуємо. |
| Тепер збийте 1 і повторіть ці дії. Спробуйте 9. Оскільки 9 × 241 = 2,169, ми записуємо 9 над 1. Помножте 9 на 241 і відніміть цей продукт з 2,221. |
| Немає більше чисел, щоб збити, тому ми закінчили. Залишок – 52. Так 74,521 ÷ 241 дорівнює 309 з залишком 52. |
| Перевірка шляхом множення. |
Іноді може бути неочевидним, скільки разів дільник переходить на цифри дивідендів. Нам доведеться вгадати і перевіряти числа, щоб знайти найбільше число, яке переходить у цифри, не перевищуючи їх.
вправа \(\PageIndex\)
Розділити. Потім перевірте, перемноживши: \(78,641 ÷ 256\) .
вправа \(\PageIndex\)
Розділити. Потім перевірте, перемноживши: \(76,461 ÷ 248\) .
Дописувачі та атрибуція
Recommended articles
- Article type Section or Page License Version 4.0 Show Page TOC No on Page
- Tags
- authorname:openstax
- source[translate]-math-4974
