Проекція (у геометрії)

Проекція (від латів.(латинський) projectio — кидання вперед, викидання), геометричний термін, пов’язаний з операцією проектування (проектування), яку можна визначити таким чином (см. мал.(малюнок) 1 ): вибирають довільну точку S простору як центр проектування і плоскість П” , що не проходить через точку S , як плоскість проекцій (картинній плоскості). Щоб спроектувати точку А (прообраз) простори на плоскість П” , через центр проекцій S («око») проводять пряму SA до її пересічення в точці А” з плоскістю П”. Точку А” (образ) і називається проекцією точки А. Проекцією фігури F називається сукупність П. всіх її крапок. Пряма лінія, що не проходить через центр П., проектується у вигляді прямої. Описана П. носить назву центральної або конічною. Вона істотно залежить від вибору центру проекцій S . При проектуванні точок даної плоскості П на плоскість П” (див. мал. 2 ) зустрічаються наступна скрута. На плоскості П є такі крапки, для яких не існує образів на плоскості П” . Така, наприклад, точка В , якщо проектуюча пряма SB паралельна плоскості П”. Для усунення цієї скрути що походить від властивостей евклідова простори, останнє поповнюють нескінченно видаленими елементами (невласними елементами). Саме, приймають, що паралельні прямі BS і РА” перетинаються в нескінченно видаленій точці B”; тоді її можна вважати образом точки В на плоскості П” . Аналогічно нескінченно видалена точка З є прообразом точки C” (см. мал.(малюнок) 2 ). Завдяки введенню нескінченно видалених елементів, між точками плоскості П і точками плоскості П” встановлюється взаємно однозначна відповідність, здійснювана за допомогою центральної П. Такоє відповідність носить назва перспективної колінеації.

Велике практичне значення має вигляд проектування, при якому центром П. є нескінченно видалена точка простору (см. мал.(малюнок) 3 ). При цьому всі проектуючі прямі паралельні і П. називається паралельною або циліндровою. Взаємна однозначна відповідність між точками плоскості П і П” , встановлене за допомогою паралельного проектування, називається перспектівно-аффінним або родинним (див. Аффінниє перетворення ) .

В кресленні широко застосовується приватний вигляд паралельного проектування, коли плоскість П. розташована перпендикулярно (ортогонально) до напряму проектування. П. в цьому випадку називається прямокутною або ортогональною.

Центральні і паралельні (зокрема, ортогональні) П. широко використовують в накреслювальній геометрії, причому виходять різні види зображень (перспективні, аксонометричні і ін.). Спеціальні види проектування на плоскість, сферу і ін. поверхні застосовуються в географії, астрономії, кристалографії, топографії і т.д. Такі картографічні проекції, гномонічні проекції, стереографічні проекції і ін. Про ортогональну проекцію направлених відрізань (векторів) див.(дивися) в ст. Векторне числення .

Проекції геометричних тіл

Форма деталей, що зустрічаються в техніці, являє собою поєднання різних геометричних тіл або їх частин.

До основних геометричних тіл відносяться паралелепіпед, різні призми і піраміди, циліндр, конус і кулю. Кожне з цих тіл має свої обмежують поверхні. За характером обмежуючих поверхонь геометричні тіла діляться на дві основні групи: багатогранники і тіла обертання.

Многогранниками називаються тіла, обмежені плоскими поверхнями: паралелепіпед, різні призми і піраміди.

Тіла обертання обмежені плоскими і кривими поверхнями, отриманими обертанням утворює лінії навколо осі: циліндр, конус, куля і деякі інші.

Для виконання креслень деталей потрібно вміти правильно зображати геометричні тіла.

Найбільш простим є побудова прямокутних проекцій прямого кругового циліндра з вертикальною віссю.

Побудова починається з зображення підстави циліндра, що представляє собою плоску фігуру – круг. Оскільки коло розташований паралельно площині проекцій і, отже, зображується на ній без спотворень, його горизонтальна проекція буде також колом, а фронтальна і профільна – горизонтально розташованими відрізками прямих, рівними діаметру кола. Фронтальна і профільна проекції циліндра окреслюються відрізками прямих, що представляють проекції його підстав і бічних контурів. На всіх проекціях проводять осі симетрії. Розміри циліндра визначаються діаметром його заснування і висотою.

З малюнка видно, що фронтальна і профільна проекції циліндра однакові. Тому в даному випадку профільна проекція зайва. Однак креслення всіх геометричних тел виконані в трьох проекціях, щоб показати, які проекції вони мають.

Мал. 1. Проектування основних геометричних тел.

Побудова зображень конуса обертання (рис. 1, б) багато в чому схоже з побудовою зображень циліндра. Горизонтальна проекція конуса являє собою коло, на якому перетином центрових ліній показана проекція вершини конуса. Діаметр кола дорівнює діаметру підстави конуса. Два інших зображення конуса представляють собою трикутник, висота яких дорівнює висоті конуса. На цих проекціях проводять осі симетрії. Для конуса вказують діаметр його заснування і висоту.

На рис. 1, в представлені креслення і наочне зображення кулі. Все-проекції кулі – кола діаметром, рівним діаметру кулі. На кожному зображенні проводяться центрові лінії.

Так само, як і куля, куб має три однакові проекції (рис. 1, г). К у б це тіло, всі грані якого – квадрати, зображувані на площинах проекцій в натуральну величину. Розміри куба визначають три виміри – довжина, ширина і висота.

Побудова зображення правильної трикутної призми (рис. 1, д) слід починати з підстави, т. Е. Рівностороннього ^ трикутника, який розташовують паралельно горизонтальній площині проекцій. Тому горизонтальна проекція трикутної призми є рівносторонній трикутник. На фронтальній площині проекцій задня грань призми зображується в натуральну величину, а дві передні грані – з спотворенням. Ширина прямокутника, що представляє собою профільну проекцію, дорівнює висоті трикутника підстави призми. На горизонтальній і фронтальній ^ проекціях проводять осьові лінії, на профільній проекції вісь симетрії відсутня.

Побудова прямокутних проекцій правильної шестикутної призми (рис. 1, е) також починають з горизонтальної проекції, яка представляє собою правильний шестикутник. На фронтальній проекції середня грань зображується в натуральну величину, а ширина бічних граней спотворена. На профільної проекції обидві грані також зображуються спотвореними за розмірами. Розміри правильної шестикутної призми визначаються її висотою і шириною, рівній подвоєній довжині сторони підстави.

На рис. 1, ж наведені три проекції і наочне зображення правильної чотирикутної піраміди. Підстава її, паралельне горизонтальній площині проекцій, як і в попередніх випадках, проектується в натуральну величину, т. Е. Є квадрат. Бічні ребра, що йдуть з вершин основи до вершини піраміди, зображуються на ньому діагоналями. Фронтальна і профільна проекції представляють собою трикутник, висота яких дорівнює висоті піраміди. На цих проекціях проводять осі симетрії, а на горизонтальній проекції необхідно провести дві осі симетрії. Для правильної чотирикутної піраміди наносять довжини двох сторін підстави і висоти.

Аналогічно побудові зображень чотирикутної піраміди будуються три проекції правильної шестикутної піраміди. Горизонтальною проекцією її є правильний шестикутник з діагоналями, які зображують бічні ребра. На фронтальній проекції показують три грані, а на профільній – дві. На фронтальній і горизонтальній проекціях; проводять осі симетрії. Розміри правильної шестикутної піраміди визначаються її висотою і шириною, що дорівнює довжині двох сторін підстави.

Реклама:

Читати далі:

Статті по темі:

Выставки в пушкинском музее изобразительных Их имена – символ эпохи Ренессанса. Их картины – национальное достояние Италии. В Музее изобразительных искусств имени Пушкина идут последние приготовления к открытию грандиозной выставки шедевров итальянских

Ленинские горки музей заповедник Усадьба Горки возникла в конце XVIII века, парк и усадебный дом восходят ко времени Дурасовых (начало XIX века), хозяйственные сооружения и парковые павильоны — к предреволюционным годам, когда поместьем

Екатеринбургский музей изобразительных искусств В основе здания музея — одно из старейших сохранившихся зданий Екатеринбурга, построенное в 1730-х — начале 1740-х как госпиталь Екатеринбургского железоделательного завода[1], впоследствии

Государственный историко-литературный музей-заповедник а Пушкинский заповедник объединяет две усадьбы: Захарово и Вяземы. На территории усадеб расположен Государственный историко-литературный музей-заповедник А. С. Пушкина. Всего на территории Вязем более

Государственный исторический музей С мая 1895 г. до ноября 1917 г. официальное название музея звучало следующим образом — «Императорский Российский исторический музей имени Императора Александра III». Музей имени Его Императорского Высочества