Формули і властивості логарифмів.

Логарифм числа b за основою a (log _a b ) визначається як показник степеня, до якого слід піднести число a , щоб отримати число b (логарифм існує лише для додатних чисел).

log_a b = x означає, що a x = b

Калькулятор логарифмів

Графік логарифмів

Види логарифмів

• log _a b – логарифм числа b за основою a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0)
• lg b – десятковий логарифм (логарифм за основою 10, a = 10).
• ln b – натуральний логарифм (логарифм за основою e , a = e ).

Формули і властивості логарифмів

1. a log _ab = b – основна логарифмічна тотожність
2. log _a 1 = 0 – логарифм одиниці
3. log _a a = 1 логарифм числа, рівного основі
4. log _a ( x · y ) = log _ax + log _ay – логарифм добутку двох додатніх чисел
5. log _a x y = log _ax – log _ay – логарифм частки
6. log _a 1 x = -log _ax
7. log _a x n = n log _ax – логарифм степені числа
8. log _an √ x = 1 n log _ax – логарифм кореня від числа
9. log _{a n} x = 1 n log _a x , при n ≠ 0
10. log _ax = log _{a c} x c
11. log _a x = log _b x log _b a – формула переходу до нової основи
12. log _a x = 1 log _x a
13. (log _a x )′ = 1 x ln a – Похідна від логарифму

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Натуральний логарифм

Означення. Логарифмом числа b за основою a , де a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , називається показник степеню, до якого необхідно піднести основу a , щоб отримати число b .

Означення. Натуральний логарифм — логарифм основою, якого є число e .

Іншими словами, натуральний логарифм числа b є розв’язком рівняння e x = b .

Позначення. Натуральний логарифм позначається ln x .

Калькулятор натуральних логарифмів

Властивості натурального логарифму

1. ln x = log _e x – так як основа натурального логарифму дорівнює числу e .
2. e ln b = b .
3. ln 1 = 0
4. ln e = 1
5. ln e n = n
6. ln( x · y ) = ln x + ln y
7. ln x y = ln x – ln y
8. ln x n = n ln x

ln (1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ (-1) n + 1 n x n , для | x | < 1 (ряд Макларена) ln (1 + x ) = x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + . + (-1) n + 1 x n n , (| x | < 1)

Також ln a може бути визначено як площу, що знаходиться під кривою графіка 1 x на ділянці від 1 до a , ln a = ∫ 1 a d x x

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Що таке натуральний логарифм?

Натуральний логарифм (логарифм числа e ) ln ⁡ ( x ) у рiвняннях працює так само, як десятковий логарифм. Вiн пiдпорядковується тим самим правилам, що й решта логарифмiв.

Зовнi натуральний логарифм теж нагадує десятковий. Вiдмiннiсть полягає лише в тому, що log ⁡ ( x ) має в основi число 10, тобто 1 0 log ⁡ x = x , натомiсть ln ⁡ ( x ) має в основi число e , тобто e ln ⁡ x = x . Натуральний логарифм було так названо через те, що вiн має в основi натуральне число e .

Натуральний логарифм

Логарифм ln ⁡ являє собою функцiю. Якщо знайти натуральний логарифм числа ( a ), отримаємо нове число k . Число k

На рисунку показано графiки десяткового та натурального логарифмiв. Обидва графiка перетинають вiсь x у точцi x = 1 , але ln ⁡ x зростає дещо швидше, нiж log ⁡ x .