Висота правильної трикутної піраміди – формула та приклади

Правильний тетраедр є одним з п’яти Платонових тіл. Зазначимо, що ми можемо розглядати тетраедр як правильну трикутну піраміду.

Висоту тетраедра можна обчислити за формулою, виведеною з використанням теореми Піфагора.

В даній публікації ми дізнаємося про формулу висоти правильної трикутної піраміди. Крім того, навчимося виводити цю формулу і застосуємо її для вирішення деяких практичних завдань.

Формула висоти правильної трикутної піраміди.

Тетраедр – це тривимірна фігура, всі грані якої мають трикутну форму. Як зазначалося вище, тетраедр можна також розглядати як правильну трикутну піраміду.

Висота правильної трикутної піраміди – це довжина відрізка, перпендикулярного до основи і такого, що з’єднує її з протилежною вершиною.

Формула висоти правильної трикутної піраміди має вигляд:

Доведення формули висоти правильної трикутної піраміди.

Щоб вивести формулу висоти тетраедра, розглянемо наступний рисунок:

Оскільки у правильній трикутній піраміді висота проектується в центр основи, який одночасно є центром описаного кола, то AO – радіус кола, описаного навколо трикутника АВС і .

Тоді, висота SO піраміди ABCS може бути знайдена з прямокутного трикутника AOS:

Тепер, враховуючи, що грані правильного тетраедра є рівносторонніми трикутниками (AS=AB), останній вираз перепишеться у наступному вигляді:

Зауваження: якщо позначити довжину сторони та висоту правильної трикутної піраміди буквами a та h відповідно, то формула висоти перепишуться у більш звичній буквенній формі:

Висота правильної трикутної піраміди – приклади з відповідями.

Формула висоти правильної трикутної піраміди використовується для вирішення наступних прикладів. Спробуйте розв’язати задачі самостійно, перш ніж дивитися на відповідь.

Приклад 1: яка висота правильної трикутної піраміди, якщо його сторона дорівнюють 4 см?

За умовою маємо, що сторони тетраедра рівні 4 см. Зазначимо, що цього достатньо, щоб знайти довжину його висоти:

Таким чином, висота піраміди дорівнює 3.27 см.

Приклад 2: знайти висоту правильної трикутної піраміди, довжина сторін якої дорівнює 6 см.

За умовою маємо, що a=6. Підставивши це значення у формулу висоти матимемо:

Отже, висота правильної трикутної піраміди дорівнює 4.9 см.

Приклад 3: чому дорівнює висота тетраедра зі сторонами 10 см?

Зазначимо, що у цьому випадку сторони піраміди дорівнюють 10 см. Використовуючи це значення у формулі висоти, будемо мати:

Тоді, висота трикутної піраміди дорівнює 8.16 см.

Приклад 4: якщо тетраедр має висоту 9 см, то яка довжина однієї з його сторін?

У цьому випадку, знаючи довжину висоти, ми повинні знайти довжину сторін тетраедра. Отже, використовуючи ту ж формулу, підставляємо задане значення та знаходимо h:

Звідси, сторони правильної трикутної піраміди мають довжину 11 см.

Приклад 5: довжина висоти правильної трикутної піраміди дорівнює 15 см. Визначте довжину його сторін.

Подібно до попередньої задачі, використовуємо формулу , підставляємо задане значення та знаходимо висоту:

Таким чином, сторони правильної трикутної піраміди рівні 18.38 см.

Дивіться також:

Хочете дізнатися більше про трикутну піраміду? Перегляньте ці сторінки:

Об’єм правильної чотирикутної піраміди. Формула і приклади завдань

При вивченні абсолютно будь-просторової фігури важливо знати, як розраховувати її обсяг. У даній статті наводиться формула обсягу правильної чотирикутної піраміди, а також на прикладі розв’язання задач показано як цією формулою слід користуватися.

Про який піраміді піде мова?

Кожному школяреві старших класів відомо, що піраміда являє собою многогранник, який складається з трикутників і багатокутника. Останній є підставою фігури. Трикутники мають одну спільну сторону з підставою і перетинаються в єдиній точці, яка є вершиною піраміди.

Кожна піраміда характеризується довжиною сторін підстави, довжиною бічних ребер і висотою. Остання являє собою перпендикулярний відрізок, опущений з вершини до основи фігури.

Правильна чотирикутна піраміда являє собою фігуру з квадратною основою, висота якої перетинає цей квадрат в його центрі. Мабуть, найвідомішим прикладом пірамід цього типу є стародавні єгипетські кам’яні будови. Нижче наведена фотографія піраміди Хеопса.

Вивчається фігура має п’ять граней, чотири з яких – це однакові рівнобедрені трикутники. Також вона характеризується п’ятьма вершинами, чотири з яких належать підстави, і вісьмома ребрами (4 ребра підстави і 4 ребра бічних граней).

Правильна піраміда. Визначення

Визначення 1. Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний багатокутник, при цьому вершина такої піраміди проектується в центр її основи.

Визначення 2. Піраміда називається правильною, якщо її основа – правильний багатокутник, а висота проходить через центр основи.

Елементи правильної піраміди

• Апофема – це висота бічної Грані, проведена з ее вершини. На малюнку позначена як відрізок ON.
• Точка, что з’єднує бічні ребра и не лежить в площіні основи, назівається вершиною піраміди (О).
• Трикутники, что ма ють спільну сторону з основою и одну з вершин, что збігається з вершиною, назіваються бічнімі гранями (AOD, DOC, COB, AOB).
• Відрізок перпендикуляра, проведеного через вершину піраміди до площини ее основи назівається висота піраміди (ОК).
• Діагональній переріз піраміди – це переріз, что проходити через вершину и діагональ основи (AOC, BOD).
• Багатокутнік, якому НЕ Належить вершина піраміди, назівається основою піраміди (ABCD).

Якщо в основі правильної піраміди лежить трикутник, чотирикутник і т.д., то вона називається правильною трикутною, чотирикутною і т.д.

Трикутна піраміда є чотирьохграннік – тетраедр..

Властивості правильної піраміди

• бічні ребра рівні між собою;
• апофеми рівні;
• бічні грані рівні між собою (при цьому, відповідно, рівні їх площі, бічні сторони і основи), тобто вони є рівними трикутниками;
• всі бічні грані є рівними рівнобокими трикутниками;
• в будь-яку правильну піраміду можна як вписати, так і описати біля неї сферу.
• якщо центри вписаної і описаної сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює π, а кожен з них відповідно π / n, де n – кількість сторін багатокутника основи;
• площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині твору периметра основи на апофему;
• близько основи правильної піраміди можна описати коло (див. також радіус описаного кола трикутника);
• всі бічні грані утворюють з площиною основи правильної піраміди рівні кути;
• всі висоти бічних граней рівні між собою

Вказівки до вирішення завдань. Властивості, перераховані вище, повинні допомогти в практичному вирішенні. Якщо потрібно знайти кути нахилу граней, їх поверхню і т. д., то загальна методика зводиться до розбиття всієї об’ємної фігури на окремі плоскі фігури і застосування їх властивостей для знаходження окремих елементів піраміди, оскільки багато елементів є загальними для декількох фігур.

Необхідно розбити всю об’ємну фігуру на окремі елементи – трикутники, квадрати, відрізки. Далі, до окремих елементів застосувати знання з курсу планіметрії, що істотно спрощує знаходження відповіді.

Формули для правильної піраміди

Формули для знаходження об’єму і площі бічної поверхні:

V – об’єм піраміди
S – площа основи
h – висота піраміди
Sb – площа бічної поверхні
a – апофема (не плутати з α)
P – периметр основи
n – число сторін основи
b – довжина бічного ребра
α – (альфа) плоский кут при вершині піраміди

Дана формула знаходження об’єму може застосовуватися тільки для правильної піраміди:

V – об’єм правильної піраміди
h – висота правильної піраміди
n – число сторін правильного багатокутника, який є основою для правильної піраміди
a – довжина сторони правильного багатокутника

Правильна усічена (зрізана) піраміда

Якщо провести розріз, паралельний основі піраміди, то тіло, укладене між цими площинами і бічною поверхнею, називається усіченою пірамідою. Це перетин для усіченої піраміди є однією з її основ.

Висота бічної грані (яка є рівнобокою трапецією), називається – апофема правильної усіченої (зрізаної) піраміди.

Зрізана піраміда називається правильною, якщо піраміда, з якої вона була отримана – правильна.

• Відстань між основами усіченої піраміди називається висотою усіченої піраміди.
• Всі грані правильної усіченої (зрізаної) піраміди є рівнобокими трапеціями

Примітки

Див. Також: окремі випадки (формули) для правильної піраміди:

Як скористатися наведеними тут теоретичними матеріалами для вирішення свого завдання:

1. Ознайомтеся з довідковими матеріалами
2. З’ясуйте, за умовами задачі, про яку саме правильну піраміду йдеться
3. Після цього в дереві знань справа, знайдіть відповідний урок з даної фігурою (див. Рішення задач про правильну піраміду з трикутником в основi, з чотирикутником в основі). Якщо потрібного рішення не знайшлося, спробуйте ознайомитися зі змістом сусідніх уроків, можливо, рішення такого завдання є саме там
4. Якщо Ви переглянули весь розділ, але аналогічної завдання не знайшлося, напишіть про свою проблему на форумі “розділ для школярів” у відповідній темі. Обов’язково ознайомтеся попередньо з правилами форуму.