§ 5. Визначення відстаней до небесних тіл

В астрономії немає єдиного універсального способу визначення відстаней. У міру переходу від близьких небесних тіл до більш далеких одні методи визначення відстаней змінюють інші. Точність оцінки відстаней обмежується або точністю самого грубого з методів, або точністю вимірювання астрономічної одиниці довжини (а. о.), значення якої за радіолокаційними вимірюваннями відоме із середньоквадратичною похибкою 0,9 км і дорівнює 149 597 867,9 ± 0,9 км. З урахуванням різних змін а. о. Міжнародний астрономічний союз у 1976 році ухвалив значення 1 а. о. = 149 597 870 ± 2 км.

Визначення відстаней до тіл Сонячної системи. Середню відстань від усіх планет до Сонця в астрономічних одиницях можна обчислити, використовуючи третій закон Кеплера. Визначивши середню відстань від Землі до Сонця (тобто значення 1 а. о.) у кілометрах, можна знайти в цих одиницях відстані до всіх планет Сонячної системи.

Із 40-х років минулого століття радіотехніка дала змогу визначати відстані до небесних тіл за допомогою радіолокації, про яку ви знаєте з курсу фізики. Класичним способом визначення відстаней був і залишається кутомірний геометричний спосіб. Ним визначають відстані й до далеких зір, до яких метод радіолокації застосувати не можна. Геометричний спосіб ґрунтується на явищі паралактичного зміщення.

Удаване зміщення світила, обумовлене переміщенням спостерігача, називають паралактичним зміщенням, або паралаксом світила. Визначення відстаней до тіл Сонячної системи ґрунтується на вимірюванні їхніх горизонтальних паралаксів.

Кут р, під яким зі світила видно радіус Землі, перпендикулярний до променя зору, називають горизонтальним паралаксом (мал. 1.19). Що більша відстань до світила, то менший кут р.

Знаючи горизонтальний паралакс світила, можна визначити його відстань D = SO від центра Землі. Відстань до світила

де R₃ — радіус Землі. Прийнявши R₃ за одиницю, можна виразити відстань до світила в земних радіусах.

Наприклад, паралакс Сонця p_⊙ = 8,794″. Паралаксу Сонця відповідає середня відстань від Землі до Сонця, приблизно 149,6 млн км. Цю відстань приймають за одну астрономічну одиницю (1 а. о.). В астрономічних одиницях зручно вимірювати відстані між тілами Сонячної системи.

При малих кутах sin p ≈ p, якщо кут p виражений у радіанах.

Для визначення відстаней до тіл Сонячної системи використовують радіолокаційні вимірювання. Вимірявши час t, потрібний для того, щоб радіолокаційний імпульс досяг небесного тіла, відбився і повернувся на Землю, визначають відстань D до цього тіла за формулою

де c — швидкість світла, наближено дорівнює 3 · 10 8 м/с (точніше c = 299 792 458 м/с).

За допомогою радіолокації одержано найбільш точні значення відстаней до тіл Сонячної системи, уточнено відстані між материками Землі, більш точно визначено астрономічну одиницю (1 а. о. = 149 597 870 км).

Методи лазерної локації (наприклад, спеціальні кутові відбивачі, доставлені на Місяць) дали змогу виміряти відстань від Землі до Місяця з точністю до кількох сантиметрів.

Визначення відстаней до зір. Учені давно припускали, що зорі мають таку саму фізичну природу, як і Сонце. Через величезні відстані диски зір не видно навіть у сильні телескопи. Щоб порівнювати зорі між собою та із Сонцем, потрібно знайти методи визначення відстаней до них.

Основним методом є метод паралактичного зсуву зір, тому що радіус Землі занадто малий порівняно з відстанню до зір. Ще Коперник розумів, що, відповідно до його геліоцентричної системи, близькі зорі на фоні далеких зір повинні описувати еліпси в результаті річного руху Землі навколо Сонця. Припущене переміщення близької зорі на фоні дуже далеких зір відбувається по еліпсу з періодом 1 рік і відображає рух спостерігача разом із Землею навколо Сонця (мал. 1.20). Паралактичий зсув зорі протягом року: С — Сонце; S — зоря; а — піввісь земної орбіти; π — річний паралакс. Положення Землі на орбіті та видиме із Землі положення зорі на небі на цьому малюнку позначено однаковими цифрами.

Малий еліпс, описаний зорею, називають паралактичним еліпсом. У кутовій мірі більша піввісь цього еліпса дорівнює значенню кута, під яким із зорі видно більшу піввісь земної орбіти, перпендикулярну до напрямку на зорю. Цей кут називають річним паралаксом (π). Паралактичне зміщення зір є незаперечним доказом обертання Землі навколо Сонця.

Відстані до зір визначаються за їхнім річним паралактичним зміщенням, що обумовлене переміщенням спостерігача (разом із Землею) по земній орбіті.

З малюнка 1.21 видно, що якщо СТ = а є середнім радіусом земної орбіти, SC = r — відстань до зорі S від Сонця С, а кут π — річний паралакс зорі, то

Якщо річні паралакси зір оцінюються десятковими частками секунди, а 1 радіан дорівнює 206 265″, то відстань до зорі можна визначити із співвідношення

Під час вимірювання відстаней до зір астрономічна одиниця занадто мала. Тому для зручності визначення відстаней до зір в астрономії застосовується спеціальна одиниця довжини — парсек (пк), назва якої походить від слів «паралакс» і «секунда».

Парсек — це відстань, з якої середній радіус земної орбіти (що дорівнює 1 а. о.) перпендикулярний до променя зору, видно під кутом 1″ (одна кутова секунда).

Відповідно до останньої формули 1 пк = 206 265 а. о. = 3,086 · 10 13 км. Отже, відстань до зір у парсеках буде визначатися виразом:

В астрономічних одиницях зазвичай виражаються відстані до тіл Сонячної системи. Відстані до небесних тіл, що розміщені за межами Сонячної системи, зазвичай виражаються в парсеках, кілопарсеках (1 кпк = 10 3 пк) і мегапарсеках (1 Мпк = 10 6 пк), а також у світлових роках (1 св. р. = 9,46· 10 12 км = 63 240 а. о. = 0,3067 пк, 1 пк = 3,26 св. р.).

Світловий рік — відстань, яку проходить електромагнітне випромінювання (світло) у вакуумі за 1 рік.

Нижня межа вимірювання паралаксів не перевищує 0,005″, що дає змогу визначати відстані не більші за 200 пк. Відстань до більш далеких об’єктів визначаються менш точно та іншими методами.

ЗАПИТАННЯ ДО ВИВЧЕНОГО

• 1. Перелічіть способи визначення відстаней до тіл Сонячної системи, які ви знаєте.
• 2. Що розуміють під горизонтальним паралаксом? Як визначити відстань до світила, знаючи його горизонтальний паралакс?
• 3. Що таке астрономічна одиниця, парсек, світловий рік?
• 4. У чому полягає радіолокаційний метод визначення відстаней до небесних тіл?

Дослідіть в історичному плані, які методи використовувалися для визначення відстаней до небесних тіл.

§ 8. ВИЗНАЧЕННЯ РОЗМІРІВ, МАС НЕБЕСНИХ ТІЛ І ВІДСТАНЕЙ ДО НИХ У СОНЯЧНІЙ СИСТЕМІ

1. Визначення розмірів Землі. Кулястість Землі дає змогу визначити її розміри способом, що вперше застосував грецький учений Ератосфен, ідея якого полягає в такому. На одному географічному меридіані земної кулі виберемо дві точки О₁ і О₂ (мал. 1.27). Позначимо довжину дуги меридіана О₁О₂ через l, а її кутове значення через n (у градусах). Тоді

Довжина дуги меридіана між обраними на земній поверхні точками О₁ і О₂ у градусах дорівнює різниці географічних широт цих точок, тобто

Для визначення n Ератосфен використав ту обставину, що міста Сієна й Александрія лежать на одному меридіані і відстань між ними відома. За допомогою простого приладу, що вчений назвав скафісом, було встановлено: якщо в Сієні опівдні в день літнього сонцестояння Сонце освітлює дно глибоких колодязів (перебуває в зеніті), то в цей самий час в Александры Сонце міститься від вертикалі на 1/50 частину кола (7,2°). Отже, визначивши довжину дуги l і кут n, Ератосфен підрахував, що довжина земного кола становить 252 тис. стадіїв (стадій ≈ 180 м). З огляду на точність вимірювальних приладів того часу й ненадійність початкових даних, результат вимірювання був досить задовільним (дійсна середня довжина меридіана Землі дорівнює 40 008 км).

Мал. 1.27. Вимірювання радіуса Землі

Точне вимірювання відстані l між точками О₁ і О₂ (мал. 1.27) ускладнене через природні перешкоди (гори, річки, ліси тощо). Тому довжина дуги l визначається шляхом обчислень, що вимагають вимірювання тільки порівняно невеликої відстані – базису і ряду кутів. Цей метод, розроблений у геодезії, називають тріангуляцією (від лат. triangulum – «трикутник»).

Суть цього методу така. По обидва боки дуги О₁О₂, довжину якої потрібно визначити, вибирають кілька точок А, В, С, . на відстанях до 50 км так, щоб з кожної точки було видно щонайменше дві інші.

В усіх точках встановлюються геодезичні сигнали у вигляді вишок пірамідальної форми (мал. 1.28, а) заввишки від 6 до 55 м, залежно від умов місцевості. У верхній частині кожної вишки є майданчик для розміщення спостерігача й установки кутомірного інструмента – теодоліта (мал. 1.28, б). Відстань між будь-якими двома сусідніми точками вибирається на зовсім рівній поверхні й приймається за базис тріангуляційної мережі. Довжину базису дуже ретельно вимірюють спеціальними мірними стрічками.

Виміряні кути в трикутниках і довжина базису дають змогу за допомогою тригонометричних рівнянь обчислити сторони трикутників, а за ними й довжину дуги О₁О₂ з урахуванням її кривизни.

Важливе значення для розвитку геодезії мала пропозиція голландського вченого Снелліуса (15801626) використовувати як метод передачі координат тріангуляцію. У 1615-1617 рр. Снелліус виконав у Голландії градусний вимір по дузі меридіана, що складається з 33 трикутників і має протяжність близько 130 км.

З 1816 по 1855 р. під керівництвом астронома і геодезиста Василя Струве (1793-1864) було виміряно дугу меридіана завдовжки 2800 км. У 30-х рр. XX ст. високоточні градусні вимірювання було проведено під керівництвом професора Феодосія Красовського (1871-1948). Довжина базису в той час вибиралася невеликою: від 6 до 10 км. Пізніше завдяки використанню світло- і радіолокації довжина базису була збільшена до 30 км. Точність вимірювання дуги меридіана збільшилася до 2 мм на кожні 10 км довжини.

Тріангуляційні вимірювання показали, що довжина дуги 1° меридіана неоднакова на різних широтах: біля екватора вона дорівнює 110,6 км, а біля полюсів – 111,7 км, тобто збільшується до полюсів.

Дійсна форма Землі не може бути представлена жодним з відомих геометричних тіл. Тому в геодезії і гравіметрії форму Землі вважають геоїдом, тобто тілом з поверхнею, близькою до поверхні спокійного океану й продовженою під материками.

Мал. 1.28. Тріангуляційна вишка та теодоліт

У наш час створено тріангуляційні мережі з електронною радіолокаційною апаратурою, встановленою на наземних пунктах та з відбивачами на геодезичних штучних супутниках Землі, що дає змогу точно обчислювати відстані між пунктами. Цей напрям є найпоширенішим і наймасовішим в геодезії. Він доступний через мережу Інтернет. Супутникові приймачі вже сьогодні широко застосовуються в багатьох геодезичних підрозділах України для оновлення геодезичних мереж, прив’язки аерофотознімків, топографічних і кадастрових зйомок та інших видів робіт.

2. Визначення відстаней методом горизонтального паралаксу. Середню відстань від усіх планет до Сонця в астрономічних одиницях можна обчислити, використовуючи третій закон Кеплера. Визначивши середню відстань від Землі до Сонця (тобто значення 1 а. о.) в кілометрах, можна знайти в цих одиницях відстані до всіх планет Сонячної системи.

Із 40-х рр. XX ст. минулого століття радіотехніка дала змогу визначати відстані до небесних тіл за допомогою радіолокації, про яку ви знаєте з курсу фізики. Класичним способом визначення відстаней був і залишається кутомірний геометричний спосіб. Ним визначають відстані й до далеких зір, до яких метод радіолокації застосувати не можливо. Геометричний спосіб ґрунтується на явищі паралактичного зміщення.

Удаване зміщення світила, обумовлене переміщенням спостерігача, називають паралактичним зміщенням, або паралаксом світила.

Визначення відстаней до тіл Сонячної системи ґрунтується на вимірюванні їхніх горизонтальних паралаксів.

Кут р, під яким зі світила видно радіус Землі, перпендикулярний до променя зору, називають горизонтальним паралаксом (мал. 1.29).

Мал. 1.29. Горизонтальний паралакс світила

3. Радіолокаційний метод. Для визначення відстаней до тіл Сонячної системи використовують найбільш точні методи вимірювання — радіолокаційні вимірювання. Вимірявши час t, потрібний для того, щоб радіолокаційний імпульс досяг небесного тіла, відбився і повернувся на Землю, визначають відстань D до цього тіла за формулою

де c – швидкість світла, наближено дорівнює 3 • 10 8 м/с (точніше 299 792 458 м/с).

За допомогою радіолокації визначено найбільш точні значення відстаней до тіл Сонячної системи, уточнено відстані між материками Землі, більш точно визначено астрономічну одиницю (1 а. о. = 149 597 870 км).

Методи лазерної локації (наприклад, спеціальні кутові відбивачі, доставлені на Місяць) дали змогу виміряти відстань від Землі до Місяця з точністю до кількох сантиметрів.

4. Визначення розмірів тіл Сонячної системи. Під час спостереження небесних тіл Сонячної системи можна виміряти кут, під яким їх видно спостерігачеві із Землі. Знаючи кутовий радіус світила р (мал. 1.30) і відстань D до світила, можна обчислити лінійний радіус R цього світила за формулою: R = D sin p.

Мал. 1.30. Визначення лінійних розмірів тіл Сонячної системи

Визначити розміри небесних тіл таким способом можна тільки тоді, коли видно їхні диски.

5. Визначення маси Землі. Однією з найважливіших характеристик небесного тіла є його маса. Закон всесвітнього тяжіння дає змогу визначати масу небесних тіл, у тому числі й масу Землі.

На тіло масою m, що перебуває поблизу поверхні Землі, діє сила тяжіння F = mg, де g – прискорення вільного падіння.

Якщо тіло рухається тільки під дією сили тяжіння, то, використовуючи закон всесвітнього тяжіння, прискорення вільного падіння дорівнює:

Середню густину Землі можна визначити, знаючи її масу й об’єм. Середня густина буде дорівнювати 5,5 • 10 3 кг/м 3 . Однак густина Землі не є сталою величиною – з глибиною вона збільшується.

6. Визначення мас небесних тіл. Маси небесних тіл можна визначити різними способами: 1. Шляхом вимірювання сили тяжіння на поверхні даного небесного тіла (гравіметричний спосіб). 2. За третім узагальненим законом Кеплера.

Перший спосіб для Землі ми розглянули вище. Перш ніж розглядати другий спосіб, перевіримо виконання третього закону Кеплера для випадку колового руху планети зі швидкістю v_K.

Нехай тіло масою т рухається з лінійною швидкістю v_K навколо тіла М (m K (мал. 1.31). Це можливо, якщо рух

Мал. 1.31. Коловий рух тіл

лювати так: відношення куба великої півосі орбіти тіла до квадрата періоду його обертання та маси центрального тіла є величина стала.

Якщо масою m меншого тіла не можна знехтувати порівняно з масою M центрального тіла, то в третій закон Кеплера, як показав Ньютон, замість маси М увійде сума мас (M + m), і останнє співвідношення запишеться у вигляді:

Узагальнивши це рівняння для двох небесних тіл масами М₁ і М₂, одержимо:

тобто квадрати сидеричних періодів супутників (T₁ 2 і Т₂ 2 ), помножені на суму мас головного тіла й супутника (М₁ + m₁ і М₂ + m₂), відносяться як куби великих півосей орбіт супутників (a₁ 3 і a₂ 3 ).

На основі уточненого Ньютоном третього закону Кеплера можна обчислити другим способом маси планет, що мають супутники, а також обчислити масу Сонця. Третій закон Кеплера також можна використовувати для визначення мас подвійних зір.

Маси планет, що не мають супутників, можуть бути визначені за збуреннями, які вони породжують у русі Землі, Марса, астероїдів, комет, а також за їхніми взаємними збуреннями.

ЗАПИТАННЯ ДО ВИВЧЕНОГО

• 1. Як грецький учений Ератосфен визначив розміри Землі?
• 2. Перелічіть способи визначення відстаней до тіл Сонячної системи, які ви знаєте.
• 3. Як визначають довжину дуги меридіана тріангуляційним методом?
• 4. Що розуміють під горизонтальним паралаксом? Як визначити відстань до світила, знаючи його горизонтальний паралакс?
• 5. Що таке астрономічна одиниця?
• 6. У чому полягає радіолокаційний метод визначення відстаней до небесних тіл?
• 7. Як Ньютон узагальнив закони Кеплера?
• 8. Як залежить період обертання супутників від мас планет? Як можна розрахувати масу Землі, Сонця?

Яка відстань від Землі до Сонця та що таке астрономічна одиниця?

Сонце знаходиться в центрі Сонячної системи. Яка відстань від Землі до Сонця і як вона вираховується? Також дізнайтеся, що таке астрономічна одиниця і як вона повязана з відстанню від Землі до Сонця?

Яка відстань від Землі до Cонця?

Усі тіла в Сонячній системі – планети, астероїди, комети тощо – обертаються навколо нього на різних відстанях. Меркурій, найближча до Сонця планета, на своїй еліптичній орбіті наближається до Сонця на 29 мільйонів миль, тоді як обєкти в Хмарі Оорта, крижаній оболонці Сонячної системи, лежать на відстані 9,3 трлн миль (15 трлн км). Але яка відстань від Землі до Сонця?

Земля обертається навколо Сонця в 100 000 разів ближче за Хмару Оорта. В середньому відстань від Землі до Сонця становить 92 955 807 миль (149 577 870 км).

Що таке астрономічна одиниця?

Відстань від Землі до Сонця називається астрономічною одиницею, або а.о. і використовується для вимірювання відстаней у всій Сонячній системі.

Наприклад, Юпітер знаходиться в 5,2 а.о. від сонця. Нептун – 30,07 а.о. від сонця. За даними NASA, відстань до найближчої зірки, Проксима Кентавра, становить приблизно 268 770 а.о.

Що таке світловий рік?

Однак для вимірювання більших відстаней астрономи використовують світлові роки або відстань, яку проходить світло за один Земний рік, що дорівнює 63 239 а.о (дізнайтеся що таке світловий рік та чому ним вимірюють відстані?). Тож Проксіма Кентаврі знаходиться приблизно в 4,25 світлових років від Землі.

Еліптична орбіта

Астрономічна одиниця – це середня відстань від Землі до Сонця. Земля робить повний оберт навколо Сонця кожні 365,25 дня – один рік. Однак орбіта Землі не є ідеальним колом; вона має форму більше овалу, або еліпсу. Протягом року Земля іноді рухається ближче до сонця, а іноді й віддаляється від сонця.

Найбільше наближення Землі до Сонця називається перигелієм, відбувається на початку січня і становить приблизно 91 мільйон миль (146 мільйонів км). Найдальше знаходження Землі від Сонця називається афелієм. Воно відбувається на початку липня і становить приблизно 94,5 мільйона миль (152 мільйони км), трохи більше 1 астрономічної одиниці.

Знаходження відстані між Землею та Сонцем

Історично першою людиною, яка виміряла відстань до Сонця, був грецький астроном Арістарх близько 250 року до н.е. Він використовував фази Місяця для вимірювання розмірів та відстаней до Сонця та Місяця.

Під час півмісяця три небесні тіла повинні утворювати прямий кут. Виміряючи кут на Землі між Сонцем і Місяцем, він визначив, що Сонце в 19 разів дальше від нашої планети, ніж Місяць. Насправді Сонце ще приблизно в 400 разів більше, ніж Місяць.

“Вимірювання Арістарха, ймовірно, було неточне, тому що по-перше, важко визначити точні центри Сонця і Місяця, а по-друге, важко точно знати, коли Місяць наполовину повний”, – йдеться на веб-сайті астрономії університету Корнелла.

Незважаючи на неточність, Арістарх дав просте розуміння розмірів і відстаней трьох небесних тіл, що привело його до висновку, що Земля обертається навколо Сонця. Це було приблизно за 1700 років до того, як Микола Коперник запропонував свою геліоцентричну модель Сонячної системи.

У 1653 році астроном Крістіан Гюйгенс підрахував відстань від Землі до Сонця. Він використовував фази Венери, щоб знайти кути у трикутнику Венера-Земля-Сонце. Наприклад, коли Венера виявляється наполовину освітленою сонцем, три тіла утворюють правильний трикутник з точки зору Землі. Відгадавши (правильно, випадково) розміри Венери, Гюйгенс зміг визначити відстань від Венери до Землі, і знаючи, що відстань, плюс кути, зроблені трикутником, він зміг виміряти відстань до Сонця. Однак, метод Гюйгенса частково базувався на здогадках і не повністю був науково обґрунтованим.

У 1672 році Джованні Кассіні застосував метод, що передбачав паралакс, або кутову різницю, щоб знайти відстань до Марса, і в той же час з’ясував відстань до сонця. Він послав свого колегу Жана Ріше до Французької Гвіани, поки сам перебував у Парижі. Вони проводили вимірювання положення Марса щодо фонових зірок і тріангулювали ці вимірювання з відомою відстані між Парижем та Французькою Гвіаною. Отримавши відстань до Марса, вони також могли обчислити відстань до сонця. Оскільки його методи були більш науковими, він зазвичай отримує заслугу першого точного вимірювання.

“Встановлення відстаней в астрономічній одиниці дозволило астрономам подолати труднощі вимірювання астрономічних відстаней”, – заявляє астроном Ніколь Капітан з Паризького університету .

Астрономічна одиниця: нові підходи

З появою космічних кораблів та радарів з’явилися більш точні методи для прямого вимірювання відстані між Землею та Сонцем.

Визначенням що таке астрономічна одиниця стало «радіус кругової орбіти тіла малої маси, яке за відсутності збурень від інших планет обертається навколо Сонця з періодом один рік і пересувається із середнім рухом 0.01720209895 радіанів в день (відома як гауссова константа).»

Поряд із тим, що воно робило зайві труднощі для професорів астрономії, це визначення насправді залишилося відносним. Значення астрономічної одиниці буде змінюватися залежно від місця спостерігача в Сонячній системі. Якби спостерігач на Юпітері використовував це визначення для обчислення відстані між Землею та Сонцем, вимірювання відрізнялося б від вимірювання, зробленого на Землі, приблизно на 1000 метрів.

Більше того, константа Гаусса залежить від маси сонця, і оскільки сонце втрачає масу, коли воно випромінює енергію, значення астрономічної одиниці змінювалося б разом із ним.

Міжнародний астрономічний союз проголосував у серпні 2012 року за зміну визначення астрономічної одиниці на звичайне старе число: 149,597,870,700 метрів. Вимірювання базується на швидкості світла, фіксованій відстані, яка не має нічого спільного з масою сонця. Метр визначається як відстань, яку проходить світло у вакуумі, за 1/299,792,458 секунди.