Формули і властивості логарифмів.

Логарифм числа b за основою a (log _a b ) визначається як показник степеня, до якого слід піднести число a , щоб отримати число b (логарифм існує лише для додатних чисел).

log_a b = x означає, що a x = b

Калькулятор логарифмів

Графік логарифмів

Види логарифмів

• log _a b – логарифм числа b за основою a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0)
• lg b – десятковий логарифм (логарифм за основою 10, a = 10).
• ln b – натуральний логарифм (логарифм за основою e , a = e ).

Формули і властивості логарифмів

1. a log _ab = b – основна логарифмічна тотожність
2. log _a 1 = 0 – логарифм одиниці
3. log _a a = 1 логарифм числа, рівного основі
4. log _a ( x · y ) = log _ax + log _ay – логарифм добутку двох додатніх чисел
5. log _a x y = log _ax – log _ay – логарифм частки
6. log _a 1 x = -log _ax
7. log _a x n = n log _ax – логарифм степені числа
8. log _an √ x = 1 n log _ax – логарифм кореня від числа
9. log _{a n} x = 1 n log _a x , при n ≠ 0
10. log _ax = log _{a c} x c
11. log _a x = log _b x log _b a – формула переходу до нової основи
12. log _a x = 1 log _x a
13. (log _a x )′ = 1 x ln a – Похідна від логарифму

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Натуральний логарифм – ln (x)

Функція натурального логарифму ln (x) є оберненою функцією експоненціальної функції e x .

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

f -1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x

Правила та властивості природного логарифму

Правило продукту

Правило частки

Правило влади

ln похідна

В цілому

ln від’ємного числа

нуль

ln одного

ln нескінченності

Правило добутку логарифму

Логарифм множення x та y – це сума логарифму x та логарифму y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

log ₁₀ (3 ∙ 7) = log ₁₀ (3) + log ₁₀ (7)

Правило частки логарифму

Логарифм поділу x та y – це різниця логарифму x та логарифму y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) – log _b ( y )

увійти ₁₀ (3 / 7) = увійти ₁₀ (3) – увійти в ₁₀ (7)

Правило степеня логарифму

Логарифм x, піднятий до степеня y, у помножений на логарифм x.

log _b ( x y ) = y ∙ log _b ( x )

log ₁₀ (2 8 ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Похідна натурального логарифму

Похідною функції натурального логарифму є зворотна функція.

f ( x ) = ln ( x )

f ‘ ( x ) = 1 / x

Інтеграл природного логарифму

Інтеграл функції натурального логарифму задається:

f ( x ) = ln ( x )

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) – 1) + C

Ln від 0

Природний логарифм нуля не визначений:

Межа поблизу 0 натурального логарифму x, коли x наближається до нуля, дорівнює мінус нескінченності:

Ln з 1

Натуральний логарифм одиниці дорівнює нулю:

Ln нескінченності

Межа природного логарифму нескінченності, коли x наближається до нескінченності, дорівнює нескінченності:

lim ln ( x ) = ∞, коли x → ∞

Складний логарифм

Складний логарифм буде (n = . – 2, -1,0,1,2, . ):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · арктан ( y / x ))

Графік ln (x)

ln (x) не визначено для дійсних непозитивних значень x:

Таблиця натуральних логарифмів

Дивіться також

• Логарифм (журнал)
• Калькулятор природного логарифму
• Натуральний логарифм нуля
• Натуральний логарифм одиниці
• Натуральний логарифм e
• Природний логарифм нескінченності
• Натуральний логарифм від’ємного числа
• Ln обернена функція
• Графік ln (x)
• Таблиця натурального логарифму
• Калькулятор логарифмів
• e константа