Чому дорівнює коефіцієнт подібності

Чому дорівнює коефіцієнт подібності

Подібність фігур

Перетворення подібності

Ще в Стародавній Греції виникло вчення про подібні фігури. Зокрема, у книзі «Начала» Евклід пише про перетворенні подібності.

Перетворенням подібності, або подібністю називається таке перетворення однієї фігури в другу, при якому відстані між точками змінюються в одне й те саме число разів. Це число називається коефіцієнтом подібності. Коефіцієнт подібності позначається латинською буквою k і є додатним числом.

Якщо коефіцієнт подібності дорівнює одиниці, то перетворення є рухом;

якщо коефіцієнт подібності менший від одиниці, то відстань між точками зменшується; якщо коефіцієнт подібності більший від одиниці, то відстань між точками збільшується.

Перетворення подібності має такі властивості:

– перетворення подібності переводить прямі у прямі, півпрямі — в півпрямі, відрізки — у відрізки;

– перетворення подібності зберігає кути між півпрямими;

– перетворення подібності переводить паралельні прямі в паралельні прямі.

Дві фігури називаються подібними, якщо одну з них можна одержати з другої за допомогою перетворення подібності. Подібність фігур означає, що незалежно від розмірів і положення на площині ці фігури мають однакову форму.

Усі кола є подібними фігурами, усі квадрати є подібними фігурами.

Якщо перша фігура подібна другій фігурі з коефіцієнтом k, то друга фігура теж подібна першій фігурі, але з коефіцієнтом, оберненим числу k, — 1/k . Одним із перетворень подібності є гомотетія.

Якщо дві подібні фігури розміщені так, що всі півпрямі, проведені з деякої точки через точки однієї фігури, проходять через відповідні точки другої фігури, то це є гомотетія.

Гомотетією з центром у точці О і коефіцієнтом k називається таке перетворення однієї фігури в другу, при якому кожна точка Х першої фігури переходить у точку Х’ другої фігури так, що точка Х’ лежить на промені, що виходить з точки О і проходить через точку Х, а відстань між точкою О і точкою Х‘ дорівнює відстані між точкою О і точкою Х, помноженій на коефіцієнт гомотетії k.

Практичні поради.

Щоб побудувати відрізок, гомотетичний даному відрізку з заданим центром гомотетії і заданим коефіцієнтом гомотетії, проведіть півпрямі з початком у центрі гомотетії, які проходять через кінці відрізка. На півпрямих від їх початку відкладіть відрізки, довжини яких дорівнюють відповідно довжинам відрізків, що з’єднують центр гомотетії з кінцями заданого відрізка, помножених на коефіцієнт гомотетії, і з’єднують точки, одержані на півпрямих.

Використовуючи сайт ви погоджуєтесь з правилами користування

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Ми приєднуємось до закону про авторське право в цифрову епоху DMCA прийнятим за основу взаємовідносин в площині вирішення питань авторських прав в мережі Інтернет. Тому підтримуємо загальновживаний механізм “повідомлення-видалення” для об’єктів авторського права і завжди йдемо на зустріч правовласникам.

Копіюючи матеріали во повинні узгодити можливість їх використання з авторами. Наш сайт не несе відподвідальність за копіювання матеріалів нашими користувачами.

Розділ 5 Геометричні перетворення

У повсякденному житті нам часто доводиться мати справу з предметами однакової форми, але різних розмірів. На площині це — картина та її репродукція, плани одного об’єкта різного масштабу, букви і цифри, набрані на комп’ютері одним шрифтом, але різного розміру.

Перетворення фігури F у фігуру F1, при якому відстані між точками змінюються у тому самому відношенні в ту саму кількість разів k, k > 0, називають перетворенням подібності. Це означає, що коли довільні точки А і В фігури F при перетворенні подібності переходять у точки А1 і В1 фігури F1, то А1В1 = kАВ. Число k називають коефіцієнтом подібності.

Коефіцієнт подібності завжди додатний. Якщо k = 1, то перетворення подібності є переміщенням.

Перетворення подібності переводить три точки, що лежать на одній прямій, у точки, що лежать на одній прямій, і зберігає порядок взаємного розміщення цих точок.

Нехай точки А, В і С лежать на одній прямій так, що точка В лежить між точками А і С. Тоді АС = АВ + ВС. За означенням перетворення подібності для точок А1, В1 і С1, що є образами точок А, В і С, виконуються такі рівності: А1В1 = kАВ,

З останньої рівності випливає, що точки А1, В1 і С1 лежать на одній прямій і точка В1 лежить між точками А1 і С1.

Можна довести ще й такі властивості подібності. Перетворення подібності відображає відрізок на відрізок, промінь — на промінь, паралельні прямі — на паралельні прямі, кут — на рівний йому кут (спробуйте зробити це самостійно).

Для будь-якого перетворення подібності з коефіцієнтом k існує обернене перетворення, яке є перетворенням подібності з коефіцієнтом .

Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності.

Якщо фігура F подібна фігурі F1, то пишуть F ~ F1.

Відношення подібності фігур має такі властивості:

У 8 класі ви ознайомилися з подібністю трикутників. Тепер відношення подібності можна поширити на будь-які геометричні фігури. Наприклад, можна довести, що два многокутники подібні, якщо їх сторони пропорційні, а відповідні кути рівні. Тому два квадрати завжди подібні. Подібними завжди будуть і два відрізки, два кола, два круга.

Ви вже знаєте, що відношення периметрів подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності. Ця властивість правильна і для інших геометричних фігур.

Відношення периметрів подібних многокутників дорівнює коефіцієнту подібності.

Нехай АВС…М і А1В1С1…М1 — подібні многокутники з коефіцієнтом подібності k (мал. 312), тобто А1В1 = kАВ, В1С1 = kВС, …, М1А1 = kМА. Тоді

Відношення площ подібних многокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

Доведемо спочатку цю теорему для трикутників (мал. 313). Нехай ∆АВС ~∆А1В1С1 з коефіцієнтом подібності k, тобто А1В1 = kАВ, А1С1 = kАС, A1= А1.

Доведемо теорему для довільних многокутників. Нехай дано два подібні многокутники, коефіцієнт подібності яких k, а площі S і S’. Розіб’ємо дані многокутники на трикутники діагоналями, які виходять з відповідних вершин (мал. 314). Тоді

Можна довести, що таку властивість мають площі будь-яких подібних фігур, а не тільки подібних многокутників. Наприклад, фігури F і F1, що є об’єднанням квадратів і півкругів, подібні (мал. 315). Тому їх площі відносяться як квадрати відповідних лінійних елементів:

Фігури А і В, зображені на малюнку 316, також подібні, тому їх площі відносяться як квадрати відстаней між відповідними точками цих фігур n і m:

Нехай дано точку О і фігуру F (мал. 317). Проведемо через довільну точку X фігури F промінь ОХ і позначимо на ньому точку Х1 таку, що ОХ1 : ОХ = k. Якщо таким способом побудувати відповідні точки для кожної точки фігури F, то одержимо нову фігуру F1.

Таке відображення фігури F на F1 називають гомотетією відносно точки О з коефіцієнтом k. Говорять також, що фігура F1гомотетичнафігурі F відносно центра О з коефіцієнтом k.

Якщо k > 1, то гомотетія відображає дану фігуру на більшу: кожну відстань збільшує у k разів. Якщо 0 < k < 1, то гомотетія кожну відстань зменшує у k разів. Якщо k = 1, то гомотетія кожну фігуру відображає на ту саму фігуру.

При к ≠ 1 гомотетія не зберігає відстаней між точками. Наприклад, якщо к = 2, то точки X і Y гомотетією відображаються на Х1 і Y1 такі, що Х1Y1 = 2ХY. Отже, Х1Y1≠ ХY, тому гомотетія не є переміщенням. Але при гомотетії зберігається відношення відстаней між точками. Наприклад, якщо при гомотетії з коефіцієнтом к чотирикутник АBСBвідображається на А1B1С1B1, то кожне з відношень

З означення перетворення подібності випливає, що кожні дві рівні фігури подібні. Але не кожні дві подібні фігури рівні. Аналогічно, кожні дві гомотетичні фігури подібні, але не кожні подібні фігури гомотетичні. Діаграмою це можна зобразити так (мал. 319 і 320).

Чи існують геометричні перетворення, відмінні від переміщень і перетворень подібності? Існують. Такими є, наприклад, стиск і розтяг. Наприклад, якщо кожна точка А(х; у) координатної площини відображається на точку А(х; kу), то говорять про стиск цієї площини до осі х з коефіцієнтом k. Якщо коефіцієнт k > 1, такий стиск називають розтягом. На малюнках зображено: сітка з правильними шестикутними сотами (мал. 321, а) і сітка, яка стиснута до осі х (мал. 321, б).

Цікавим геометричним перетворенням є інверсія — своєрідна симетрія відносно кола. Множину точок, що лежать у внутрішній області кола, це перетворення відображає на точки його зовнішньої області, і навпаки. Інверсію розглядають у курсах вищої геометрії.

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Яке геометричне перетворення називають перетворенням подібності?

2. Які властивості має перетворення подібності?

3. Які фігури називають подібними?

4. Назвіть властивості подібних фігур.

5. Як відносяться периметри подібних фігур?

6. Як відносяться площі подібних фігур?

1. Периметри двох подібних многокутників пропорційні числам 2 і 5. Знайдіть площі цих многокутників, якщо їх різниця дорівнює 42 см 2 .

Якщо периметри пропорційні числам 2 і 5, то площі S1 : S2 = 4 : 25. Нехай коефіцієнт пропорційності х. Тоді S1 = 4х, S2 = 25х.

За умовою задачі 25х – 4х = 42, звідки х = 2. Тоді S1 = 8 см 2 , S2 = 50 см 2 .

2. Дано квадрат АВСD. У трикутник АВС вписано квадрат MNРК (мал. 322). Чи подібні ці квадрати? З яким коефіцієнтом подібності?

Два квадрати завжди подібні. Знайдемо коефіцієнт подібності. Нехай АВ = а, тоді АС = а . ∆АМN — рівнобедрений прямокутний, бо АМN = 90°, NАМ = АNМ = 45°. Тоді АМ = МN. Аналогічно, КС = РК.

923. У якому з випадків квадрати, зображені на малюнках 323-326, подібні?

924. Чи завжди подібні два правильні шестикутники?

925. Назвіть фігури, які завжди подібні.

926. Чи завжди подібні два ромби? Чи подібні ромби, якщо один із них має кут 55°, а другий — 125°?

927. Радіус одного з кіл дорівнює діаметру іншого. Знайдіть коефіцієнт подібності.

928. Площі двох подібних многокутників відносяться як 9 : 16. Як відносяться їх периметри?

929. Сторони прямокутника 2 см і 6 см. Знайдіть периметр і площу подібного прямокутника, якщо: а) k = 2; б) k = 0,5.

930. Периметр многокутника 10 см. Знайдіть периметр подібного многокутника, якщо k = 0,2.

931. Дві фігури симетричні відносно деякої прямої. Чи подібні вони? З яким коефіцієнтом подібності?

932. Діагональ одного з квадратів є стороною іншого. Чому дорівнює коефіцієнт подібності цих квадратів?

933. Відрізок, паралельний основам трапеції, ділить її на дві трапеції. Чи подібна якась із них даній трапеції?

934. Середня лінія трапеції розбиває її на дві трапеції. Чи подібні вони?

935. Як відносяться довжини кіл:

а) вписаного в квадрат і описаного навколо нього;

б) вписаного в рівносторонній трикутник і описаного навколо нього?

936. Знайдіть відношення площ частин, на які трикутник ділить його середня лінія.

937. Перенесіть таблицю в зошит і заповніть її, якщо Р1, Р2, S1, S2 — периметри і площі двох подібних фігур, k — коефіцієнт подібності.

938. Знайдіть сторони чотирикутника периметра 88 см, якщо він подібний чотирикутнику, сторони якого 3 см, 5 см, 6 см і 8 см.

939. Периметри двох подібних многокутників відносяться як 2 : 5, а сума їх площ дорівнює 232 см 2 . Знайдіть площу кожного з них.

940. Сторони одного прямокутника дорівнюють 5 см і 9 см. Знайдіть сторони подібного прямокутника, якщо його площа 180 см 2 .

941. Діагоналі ромба 10 см і 24 см, а сторона подібного йому ромба дорівнює 26 см. Знайдіть площу другого ромба.

942. М — середина сторони ВС паралелограма АВСD, О — точка перетину прямих АС і МD. Знайдіть площу ∆МОС, якщо S∆АОD = 12.

943. Продовження бічних сторін АВ і СD трапеції АВСD перетинаються в точці М. Знайдіть площу трапеції, якщо АВ : ВМ = 2 : 3, а площа трикутника ВМС дорівнює 18 см 2 .

944. Знайдіть радіуси двох кругів, які мають зовнішній дотик, якщо їх площі відносяться як 4 : 25, а відстань між центрами дорівнює 14 см.

945. АМ і ВN — медіани трикутника АВС. Знайдіть площу чотирикутника АВМN, якщо площа трикутника АВС дорівнює 48 см 2 .

946. Сформулюйте і доведіть ознаки подібності: а) двох ромбів; б) двох прямокутників.

947. Доведіть, що паралелограми подібні, якщо діагоналі ділять гострі кути на відповідно рівні кути.

948. Доведіть, що дві рівнобічні трапеції подібні, якщо їх гострі кути рівні, а діагоналі є бісектрисами цих кутів.

949. Є два кільця (мал. 327). Радіуси одного з них 1 см і 2 см, а другого — 2 см і 3 см. Чи подібні вони? Дослідіть, за якої умови два кільця, обмежені двома концентричними колами, подібні.

950. О — точка перетину діагоналей трапеції АВСD (ВС︢͡AD). Знайдіть площу трапеції, якщо площі трикутників АОD і ВОС відповідно дорівнюють 90 см 2 і 40 см 2 .

951.Знайдіть відношення довжин двох кіл з центрами О1 і О2, якщо їх спільна зовнішня дотична перетинає лінію центрів у точці Р і PO1: O1O2 = 2 : 7.

952. Усередині опуклого п’ятикутника ABCDEвзято довільну точку O. A1, B1, C1, D1, E1 — точки, симетричні точці Oвідносно вершин п’ятикутника. Знайдіть площу п’ятикутника ABCDE, якщо площа п’ятикутника A1B1C1D1E1 дорівнює 100 см 2 .

953. Усередині опуклого чотирикутника, площа якого дорівнює S, взято довільну точку і її відображено симетрично відносно середин усіх сторін. Отримані точки послідовно з’єднані. Знайдіть площу утвореного чотирикутника.

954. У трикутнику ABC, площа якого 45 см 2 , проведено висоти AN і BM.

Знайдіть площу чотирикутника ABNM, якщо cos C= .

955. Доберіть кілька цитат про математику і за допомогою комп’ютера зробіть хмару слів, щоб на ній були подібні і не подібні зображення.

956. Доведіть, що середини основ трапеції, точка перетину її діагоналей та точка перетину прямих, на яких лежать бічні сторони трапеції, лежать на одній прямій.

957. Найкоротша медіана прямокутного трикутника дорівнює 5 дм, а один із катетів 6 дм. Знайдіть площу трикутника.

958. У трикутнику медіана, проведена до сторони, утворює з нею кут 60°, а дві інші сторони дорівнюють 7 см і см. Знайдіть невідому сторону трикутника.

Використовуючи сайт ви погоджуєтесь з правилами користування

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Ми приєднуємось до закону про авторське право в цифрову епоху DMCA прийнятим за основу взаємовідносин в площині вирішення питань авторських прав в мережі Інтернет. Тому підтримуємо загальновживаний механізм “повідомлення-видалення” для об’єктів авторського права і завжди йдемо на зустріч правовласникам.

Копіюючи матеріали во повинні узгодити можливість їх використання з авторами. Наш сайт не несе відподвідальність за копіювання матеріалів нашими користувачами.

Подібність трикутників

Укажіть рисунок, на якому зображено подібні трикутники.

Дано Δ ABC ∼ Δ DFK. AB=15 см, DF=5 см, FK= 7 см. Знайдіть ВС.

Два кути одного трикутника — 63° і 32°, а другого 32° і 85°. Ці трикутники.

Чому дорівнює коефіцієнт подібності на малюнке?

Визначте чи подібні трикутники, якщо їх сторони дорівнюють 5 см, 8 см, 9 см і 15 см, 24 см, 27 см

Дано ΔАВС подібний ΔDFK. AB = 10 см, DF = 5 см, FK = 6 см, DK = 4 см. Знайдіть периметр ΔАВС.

Дано ΔАВС подібний ΔDFK. AB = 15 см, DF = 5 см, FK = 7 см. Знайдіть BC.

Два кути одного трикутника — 75° і 28°, а другого 28° і 78°. Чи подібні ці трикутники?

У подібних фігур відповідні відрізки:

суміщаються при накладанні

Сторони трикутника відносяться як 7:6:3. Знайти сторони подібного йому трикутника, якщо в нього менша сторона 6 см

Пряма MN паралельна стороні AC трикутника ABC. Точки M і N лежать на сторонах AB і BC відповідно. Знайдіть відрізок NC, якщо BC =15 см, AC =10 см, MN = 2 см.

У трикутниках АВС і МKТ відомо, що ∠А = ∠М, кожна зі сторін АВ і АС становить 0,8 сторін МK і МТ відповідно. Знайдіть сторони ВС і KТ, якщо їхня сума дорівнює 54 см.